选修4-4.4-5练习.docx

高二数学选修试题 评卷人 得分 一、解答题 1．[2018·广元一模]选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求的值． 2．选修4-4：坐标系与参数方程选讲 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数， ），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程. 3．选修4－4：坐标系与参数方程． 在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为x=2cosα ，  y=3sinα ，  (α为参数)，已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系. （Ⅰ）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）设A ，  B分别为椭圆C上的两点，且OA⊥OB，求1|OA|2+1|OB|2的值. 4．已知点，参数，点Q在曲线C： 上. （Ⅰ）求在直角坐标系中点的轨迹方程和曲线C的方程； （Ⅱ）求｜PQ｜的最大值. 5．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为 圆心、为半径. （Ⅰ）写出直线的参数方程和圆的极坐标方程； （Ⅱ）试判定直线和圆的位置关系. 6．已知直线的参数方程是（是参数），以坐标原点为原点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）判断直线与曲线的位置关系； （2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值. 7．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程： ，曲线的参数方程： （为参数），且与有两个不同的交点. （1）写出曲线的直角坐标方程，及曲线的普通方程； （2）求实数的取值范围. 8．请考生在第（1）（2）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。 （1）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是{x=-3t+2y=4t                    （t为参数）． （Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l和曲线C的位置关系． （2）选修4-5：不等式选讲 已知不等式 |2x-a|≤3 的解集为 [-1 , 2]. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若|x-m|<a, 求证：|x|<|m|+1. 9．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C(2,3π4)，半径r=1 （1）求圆C的极坐标方程； （2）若α∈[0,π3]，直线l的参数方程为{x=tcosαy=2+tsinα（t为参数），点P的直角坐标为（0，2），直线l交圆C与A，B两点，求|PA|⋅|PB||PA|+|PB|的最小值． 10．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数， ），以原点为极点， 正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为. （1）求圆的直角坐标方程与直线的普通方程； （2）设直线截圆的弦长等于半径长的倍，求的值. 11．选修4-5 不等式选讲 设函数f(x)=x+1+x−a. （1）若a=3,解不等式f(x)≤5; （2）如果∃x0∈R,使得f(x0)≤2成立,求a的取值范围. 12．选修4—5；不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）当时，解关于的不等式； （Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围. 13．选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x−3|+|x+m|(x∈R). （Ⅰ）当m=1时，求不等式f(x)≥6的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围. 14．选修4-5：不等式选讲. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若，试比较， ， 的大小. 15．选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x−a|. （1）若f(x)≤m的解集为{x|−1≤x≤5}，求实数a，m的值； （2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2t). 16．[选修4—5：不等式选讲] 设函数. （1）求不等式的解集； （2）若的最小值为，求实数的值. 17．选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=x+1. （1）解不等式2f(x)<4−x−2； （2）已知m+n=2(m>0,n>0)，若不等式x−a−f(x)≤1m+1n恒成立，求实数a的取值范围. 18．已知函数fx=x−1−x+2. （Ⅰ）若不等式fx≥m−1有解，求实数m的最大值M； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2=M，证明：3a+b≤4. 19．已知函数f(x)=|2x−1|+|x+1|，g(x)=|x−a|+|x+a| （1）解不等式f(x)≤9； （2）若∀x1∈R，∃x2∈R，使g(x1)=f(x2)，求实数a的取值范围. 20．选修4-5：不等式选讲 已知函数. (1) 当时，解不等式； (2) 求函数的最小值. 21．已知函数的一个零点为2. （1）求不等式的解集； （2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围. 评卷人 得分 二、填空题 22．圆（为参数）上的点到直线（为参数）的最大距离为__________． 试卷第3页，总4页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 参考答案 1．（1）（2） 【解析】试题分析： （1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将代入，可得，设两点的极坐标方程分别为，则是方程的两根，利用求解即可． 试题解析： （1）将方程消去参数得， ∴曲线的普通方程为， 将代入上式可得， ∴曲线的极坐标方程为： ． （2）设两点的极坐标方程分别为, 由消去得， 根据题意可得是方程的两根， ∴， ∴． 2．(1) 当时， ： ；当时， ： ， ： ; (2) . 【解析】试题分析：（1）对于曲线消去参数得： ： ，或.由极坐标公式化简可得： ；（2）联立， 的方程得 ，再求得圆心为 圆方程为. 试题解析：（1）对于曲线消去参数得： 当时， ： ；当时， ： . 对于曲线： ， ，则： . （2）当时，曲线的方程为，联立， 的方程消去，得，即， ， 圆心为，即，从而所求圆方程为. 【点睛】本题考查极坐标方程，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中等题型.在极坐标方程与直角坐标方程互化中应紧扣公式进行转化，在求弦长时应注意借助极径的几何意义，可以大大降低计算量和求解效率.弦长公式主要有：1. 2. ；3. ；4. （圆的弦长公式）；5. （开口向右的抛物线的 焦点弦弦长公式）. 3．（Ⅰ）(ρcosθ)24+(ρsinθ)23=1 （Ⅱ）712 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得椭圆C的普通方程为x24+y23=1(ρcosθ)24+(ρsinθ)23=1. （Ⅱ）由（Ⅰ）得1ρ2=cos2θ4+sin2θ31|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2θ14+sin2θ13+cos2(θ1+π2)4+sin2(θ1+π2)3=13+14=712. 试题解析：（Ⅰ）∵椭圆C的参数方程为x=2cosα ，  y=3sinα ，  (α为参数)， ∴椭圆C的普通方程为x24+y23=1，∴(ρcosθ)24+(ρsinθ)23=1. （Ⅱ）由（Ⅰ）得1ρ2=cos2θ4+sin2θ3，可设A(ρ1 ，  θ1) ，   B(ρ2 ，  θ1+π2)， ∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2θ14+sin2θ13+cos2(θ1+π2)4+sin2(θ1+π2)3 =cos2θ14+sin2θ13+sin2θ14+cos2θ13 =13+14=712. ∴1|OA|2+1|OB|2的值是712. 4．（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】试题分析：（Ⅰ）消参得点的轨迹是上半圆： ，再利用公式求得：曲线C的直角坐标方程： ；（Ⅱ）所求最大值就是点到直线的距离. 试题解析： （Ⅰ）设，则，点的轨迹是上半圆： 曲线C的直角坐标方程： 分 （Ⅱ）｜PQ｜的最大值就是点到直线的距离， 5．（Ⅰ）（Ⅱ）直线和圆相交 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据定义可得：直线的参数方程是为参数）， 圆的极坐标方程是； （Ⅱ）求得圆心的直角坐标和直线的普通方程，利用点到直线的距离公式可得，故直线和圆相交. 试题解析： （Ⅰ）直线的参数方程是为参数） 圆的极坐标方程是。 （Ⅱ）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是， 圆心到直线的距离，所以直线和圆相交. 6．（1）相离；（2）. 【解析】试题分析：（1）利用加减消元法消去，可得直线的方程为.将圆的极坐标方程展开后两边成立，转化为直角坐标方程为.利用圆心到直线的距离判断出直线和圆相离.（2）利用直线的参数方程，得到直线上任意一点的坐标，利用勾股定理求出切线长，最后利用配方法求得最小值. 试题解析： （1）由直线的参数方程消去参数得的方程为. ， ， 曲线的直角坐标方程为， 即. 圆心到直线的距离为， 直线与圆的相离. （2）直线上的点向圆引切线，则切线长为 ． 即切线长的最小值为. 7．（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程， ；（2）. 【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用， 进行代换即得的直角坐标方程，利用消参法将两边平方，再和另一个式子相减即可，同时需注意的范围；（2）联立，得，令，利用二次函数的性质即可得到结论. 试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为， 曲线的直角坐标方程， . （2）联立，得， 易知， 为开口向下抛物线，要满足两个不同的交点，则. 8．（1）（Ⅰ）C的直角坐标方程为：x2-y2-2y=0,l的直角坐标方程得：4x+3y-8=0; （Ⅱ）直线l与圆C相切 （2）（Ⅰ） a=1;（Ⅱ）见解析. 【解析】（1）试题分析：（Ⅰ）两边同时乘以ρ，利用ρ2=x2+y2以及ρsinθ=y，可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消参法消去参数可将直线l的参数方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离等于半径可得直线与圆相切. 试题解析：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ 又{ρsinθ=yρ2=x2+y2曲线C的直角坐标方程为：x2-y2-2y=0 将直线l的参数方程化为直角坐标方程得：4x+3y-8=0 （Ⅱ）曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0,1），半径r=1 则圆心C到直线l的距离d=|3-8|16+9=1=r ∴直线l与圆C相切. （2）试题分析：（Ⅰ）由|x-m|<a，可得3≤2x-a≤3，．再根据|x-m|<a的解集为[-1 , 2]，可得a的值；（Ⅱ）由|x-m|<1以及|x|=|x-m+m|，利用绝对值三角不等式，证得要证的不等式. 试题解析：（Ⅰ）由不等式|2x-a|≤3可化为-3≤2x-a≤3 所以a-32≤x≤a+32 ∴{a-32=-1a+32=2得a=1 （Ⅱ）若|x-m|<1,|x|=|x-m+m|≤|x-m|+|m|<|m|+1 9．（1）ρ2+2ρ(cosθ−sinθ)=−1.；（2）24.. 【