选修4-4---坐标系与参数方程-知识+例题+练习+测试.docx

坐标系与参数方程 知识点 一、 坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 例1 写出下图中各点的极坐标 A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） E（ ） F（ ） 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景: 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 直角坐标 极坐标 互化公式 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 例1、分别把下列点的极坐标 ，化成直角坐标 A（4，0） B（3，） C（2，） D（3，） 变式1： 例2、分别把下列点的直角坐标化为极坐标：（限定） ；；；； 例3、在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为____ 变式3：在极坐标系中，曲线与， 试求曲线交点的极坐标_______ 例4、在极坐标系中，直线的方程，则点到直线的距离为 ． 变式4-1：已知直线的极坐标方程，求极点到直线的距离_________ 变式4-2：在极坐标系中，已知圆与直线 相切，求实数的值______ 变式4-3:在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是 ． 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 过极点,倾斜角为的直线 (1) (2) 过点,与极轴垂直的直线 过点,与极轴平行的直线 ※ 圆的极坐标方程 例1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程： （1）； （2）. 变式1．求下列圆的圆心的极坐标： （1）； （2）. 变式2．求圆的圆心的极坐标与半径. 一个圆的极坐标方程是，求圆心的极坐标与半径. 变式3．两圆和的圆心距是 . 例2、圆心在 ，半径为4的圆的极坐标方程____________________ 变式1. 求圆心在点（-4，3），且过极点的圆的极坐标方程. 变式2. 在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程： （1）圆心在，半径为1的圆；（2）圆心在，半径为的圆. 变式3. 圆的极坐标方程是 . ※ 直线的极坐标方程 例1．把下列极坐标方程化为直角坐标方程： （1）；（2）. 变式1．曲线的直角坐标方程是 . 变式2．直线的直角坐标方程是 . 变式3．求下列直线的倾斜角：（1）；（2）. 变式4．直线的极坐标方程是 . 例2、在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程： （1）过极点，倾斜角是的直线；（2）过点，并且和极轴垂直的直线. 变式1. 求经过极点，从极轴到直线的夹角是的直线的极坐标方程. 变式2．经过极点，且倾斜角是的直线的极坐标方程是 . 变式3．过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程为 . 例3、已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离. 变式1．直线关于直线对称的直线的极坐标方程为______________ 二、 参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 例1、对于曲线上任一点，下列哪个方程是以为参数的参数方程（ ） A、 B、 C、 D、 2.参数方程和普通方程的互化 一．消参的方法 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数 例 已知曲线C的参数方程是，且点在曲线C上，则实数的值为（ ） A、 B、 C、 D、无法确定 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数 例 化为普通方程为____________________ （3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。 例 若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 二．常见曲线的参数方程化为普通方程的方法 （1）圆参数方程 （为参数） （2）圆参数方程为： （为参数） （3）椭圆参数方程 （为参数） （4）双曲线参数方程 （为参数） （5）抛物线参数方程 （t为参数） （6）过定点倾斜角为的直线的参数方程 （为参数） 例1．将下列参数方程化为普通方程 （1） （2） （3） （4） （5） (6) 例2．化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。 （1） （t是参数） （2） （t是参数） （3） （4） 【扩展练习】 1.直线上与点的距离等于的点的坐标是_______。 2．曲线与坐标轴的交点是（ ） A． B． C． D． 3．直线过定点_____________。 4．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 5．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。 6、 已知为圆上任意一点，求的最大值和最小值。 3．圆的参数 圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角； 焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。 5．双曲线的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中 焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为 （三） 圆锥曲线的参数方程 例1． 曲线的普通方程为 ______________。 例2．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A． B． C．1 D． 例3.已知椭圆 (为参数) 求 （1）时对应的点P的坐标 （2）直线OP的倾斜角 1．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。 变式1.在椭圆上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最小， 并求出最小距离. 变式2.已知实数x、y满足z＝x＋2y的最大值与最小值. 2．直线被圆截得的弦长为______________。 3．在曲线上的点为（ ） A．(2,7) B． C． D．(1,0) 4. 曲线的轨迹是（ ） A．一条直线 B．一条射线 C．一个圆 D．一条线段 5.已知圆方程，选择适当的参数将它化为参数方程. 6、求直线与圆的交点坐标。 7．直线的参数方程 经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为 例1.已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积. 例2.设AB为椭圆 的一条弦，点M(2, －1)为AB的中点，求AB所在直线的方程。 例3.若直线与直线（为参数）垂直，则 ． ） ） 多少？ 6. 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______ 坐标系与参数方程测试题 考试时间：90分钟　满分：150分　 姓名：＿＿＿＿＿　成绩＿＿＿＿ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分. ) 1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．下列在曲线上的点是（ ） A． B． C． D． 3．将参数方程化为普通方程为（ ） A． B． C． D． 4．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ） A． B． C． D． 5．点的直角坐标是，则点的极坐标可以为（ ） A． B． C． D． 6．极坐标方程表示的曲线为（ ） A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 7．参数方程为表示的曲线是（ ） A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线 8．圆的圆心坐标是（ ） A． B． C． D． 9．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）A． B． C． D． 10．直线被圆截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本题共6小题，每题5分，共30分) 11．直线的斜率为______________________。 12．已知直线与直线相交于点，又点， 则_______________。 13．直线被圆截得的弦长为_________。 14．直线的极坐标方程为__________________。 15．直线过定点_____________。 16．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为__。 三、解答题 17．已知直线经过点,倾斜角， （1）写出直线的参数方程。(10分) （2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。(10分) 18．已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；(10分) （2）若恒成立，求实数的取值范围。(10分) 19．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。(20分) 20．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。 (10分) 17 / 17