2023年高中数学竞赛标准讲义第二章二次函数与命题doc高中数学.docx

2023高中数学竞赛标准讲义：第二章：二次函数与命题 一、根底知识 1．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。 2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。 3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。 1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。 3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。 当a<0时，请读者自己分析。 4．二次函数的最值：假设a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,假设a<0，那么当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0<m时。f(x)在[m, n]上的最小值为f(m)；当x0>n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。 定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5〞是命题，“萝卜好大〞不是命题。不含逻辑联结词“或〞、“且〞、“非〞的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 注1 “p或q〞复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否那么为真命题；“p且q〞复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否那么为假命题；p与“非p〞即“p〞恰好一真一假。 定义2 原命题：假设p那么q（p为条件，q为结论）；逆命题：假设q那么p；否命题：假设非p那么q；逆否命题：假设非q那么非p。 注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“假设p那么q〞为真，那么记为pq否那么记作pq.在命题“假设p那么q〞中，如果pq,那么p是q的充分条件；如果qp，那么称p是q的必要条件；如果pq但q不p，那么称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，那么p称为q的必要非充分条件；假设pq且qp，那么p是q的充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例1 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x). 【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 那么由f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△0， 所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2. 又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β, 所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1, 所以f(x)=x2-2x+2. 2．方程的思想。 例2 f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a≤4. 又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=f(2)-f(1), 所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4, 所以-1≤f(3)≤20. 3．利用二次函数的性质。 例3 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，假设方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。 【证明】假设a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。 所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。 注：请读者思考例3的逆命题是否正确。 4．利用二次函数表达式解题。 例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0<x1<x2<, （Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：x<f(x)<x1； （Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0< 【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x. 其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<0，所以f(x)<x1. 综上，x<f(x)<x1. （Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以x0=, 所以， 所以 5．构造二次函数解题。 例5 关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比1小，负根比-1大。 6．定义在区间上的二次函数的最值。 例6 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。 【解】 y=1-,令u,那么0<u≤1。 y=5u2-u+1=5, 且当即x=3时，ymin=. 例7 设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。 【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1). ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx的最小值为-，所以b2=2，所以（舍去）。 ⅱ) ->-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数， 所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-. 综上，b=-. 7.一元二次不等式问题的解法。 例8 不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。 【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 假设a≤0，那么x1<x2.①的解集为a<x<1-a，由②得x>1-2a. 因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。 假设a>0，ⅰ）当0<a<时，x1<x2,①的解集为a<x<1-a. 因为0<a<x<1-a<1，所以不等式组无整数解。 ⅱ）当a=时，a=1-a，①无解。 ⅲ）当a>时，a>1-a，由②得x>1-2a， 所以不等式组的解集为1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有2个， 所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3， 所以1<a≤2，并且当1<a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。 综上，a的取值范围是1<a≤2. 8．充分性与必要性。 例9 设定数A，B，C使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件） 【解】 充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ② 假设A=0，那么由②对一切x,y,z∈R成立，那么只有B=C，再由①知B=C=0，假设A0，那么因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。 再证充分性，假设A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)， 1）假设A=0，那么由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）假设A>0，那么由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 9．常用结论。 定理1 假设a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：假设m>0，那么-m≤x≤m等价于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。 定理2 假设a,b∈R, 那么a2+b2≥2ab；假设x,y∈R+,那么x+y≥ (证略) 注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 三、根底训练题 1．以下四个命题中属于真命题的是________，①“假设x+y=0，那么x、y互为相反数〞的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等〞的否命题；③“假设q≤1，那么x2+x+q=0有实根〞的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等〞的逆否命题。 2．由上列各组命题构成“p或q〞，“p且q〞，“非p〞形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④ p: QR, q: N=Z. 3. 当|x-2|<a时，不等式|x2-4|<1成立，那么正数a的取值范围是________. 4. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2，那么a, b的值是____________. 5. x1且x2是x-1的__________条件，而-2<m<0且0<n<1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的__________条件. 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行〞的逆命题是_________. 7.假设S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2个，那么m的取值范围是_________. 8. R为全集，A={x|3-x≥4}, B=, 那么(CRA)∩B=_________. 9. 设a, b是整数，集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2）A那么a,b的值是_________. 10．设集合A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0}，那么集合{x|x∈A且xA∩B}=_________. 11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。 12．对任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k的取值范围。 四、高考水平训练题 1．假设不等式|x-a|<x的解集不空，那么实数a的取值范围是__