算术-几何平均值不等式.doc

算术-几何平均值不等式 信息来源：维基百科 在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为  个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有： 等号成立当且仅当  。 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。 例子 在  的情况，设: ， 那么 .可见。 历史上的证明 历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的 ，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。 柯西的证明 1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]： 命题：对任意的  个正实数， 当  时，显然成立。假设  成立，那么  成立。证明：对于 个正实数， 假设成立，那么成立。证明：对于 个正实数，设，，那么由于成立， 。 但是 ， ，因此上式正好变成 也就是说 综上可以得到结论：对任意的自然数 ，命题  都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 ，命题  都成立。因此对任意的 ，可以先找  使得 ，再结合第三条就可以得到命题  成立了。 归纳法的证明 使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]： 由对称性不妨设  是  中最大的，由于  ，设 ，则 ，并且有 。 根据二项式定理， 于是完成了从  到  的证明。 此外还有更简洁的归纳法证明[3]： 在  的情况下有不等式  和  成立，于是： 所以 ，从而有。 基于琴生不等式的证明 注意到几何平均数 实际上等于 ，因此算术-几何平均不等式等价于： 。 由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。 基于排序不等式的证明 令 ，于是有 ，再作代换 ，运用排序不等式得到： ， 于是得到 ，即原不等式成立。 此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。 推广 算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。 加权算术-几何平均不等式 不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设  和  为正实数，并且 ，那么： 。 加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。 矩阵形式 算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵 设 ，，那么有： 也就是说：对  个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对  个横行取的  个几何平均数的算术平均。 极限形式 也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数 ，都有 这实际上是在算术-几何平均值不等式取成  后，将两边的黎曼和中的  趋于无穷大后得到的形式。 参考来源 1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457. 2. ^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46. 3. ^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007 · 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。 · 李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。 · 莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。 · 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。