2023年高考数学热点考点题型探析等差数列新人教版.docx

第2讲 等差数列 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1等差数列的通项与前n项和 题型1等差数列的某些项，求某项 【例1】为等差数列，，那么 【解题思路】可以考虑根本量法，或利用等差数列的性质 【解析】方法1： 方法2：， 方法3：令，那么 方法4：为等差数列， 也成等差数列，设其公差为，那么为首项，为第4项. 方法5：为等差数列，三点共线 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑根本量法. 题型2前项和及其某项，求项数. 【例2】⑴为等差数列的前项和，，求； ⑵假设一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数. 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数. 【解析】⑴设等差数列的首项为，公差为，那么 ⑵ 【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：⑴根本量法；⑵利用等差数列的性质. 题型3求等差数列的前n项和 【例3】为等差数列的前项和，. ⑴求； ⑵求； ⑶求. 【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. 【解析】4.， 当时，， 当时，， 当时，， . 由，得，当时，；当时，. ⑴； ⑵ ； ⑶当时，， 当时， 【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论. 【新题导练】 为等差数列，〔互不相等〕，求. 【解析】 为等差数列的前项和，，那么 . 【解析】设等差数列的公差为，那么 . 个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数. 【解析】设这个数分别为那么 解得 当时，这个数分别为：； 当时，这个数分别为： 为等差数列的前项和，，求. 【解析】方法1：设等差数列的公差为，那么 ； 方法2： . 考点2 证明数列是等差数列 【例4】为等差数列的前项和，. 求证：数列是等差数列. 【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法. 【解析】方法1：设等差数列的公差为，， 〔常数〕 数列是等差数列. 方法2：， ， ， 数列是等差数列. 【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有： ⑴定义法：〔，是常数〕是等差数列； ⑵中项法：()是等差数列； ⑶通项公式法：〔是常数〕是等差数列； ⑷前项和公式法：〔是常数，〕是等差数列. 【新题导练】 为数列的前项和，， ⑴求常数的值； ⑵求证：数列是等差数列. 【解析】⑴，， ⑵由⑴知：， 当时，， ，数列是等差数列. 考点3 等差数列的性质 【例5】⑴为等差数列的前项和，，那么 ； ⑵为等差数列的前项和，，那么 . 【解题思路】利用等差数列的有关性质求解. 【解析】⑴； ⑵方法1：令，那么 . ，， ； 方法2：不妨设 . ， ； 方法3：是等差数列，为等差数列 三点共线. . 【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算. 【新题导练】 6.含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为〔 〕 【解析】〔本两小题有多种解法〕 ，.选B. 、分别是等差数列、的前项和，，那么 . 【解析】 填. 考点4 等差数列与其它知识的综合 【例6】为数列的前项和，；数列满足：， ，其前项和为 ⑴求数列、的通项公式； ⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值. 【解题思路】⑴利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出后，判断的单调性. 【解析】⑴， 当时，； 当时， 当时，，； ，是等差数列，设其公差为. 那么， . ⑵ ，是单调递增数列. 当时， 对都成立 所求最大正整数的值为. 【名师指引】此题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容. 【新题导练】 为数列的前项和，，. ⑴求数列的通项公式； ⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？假设存在，求最小的正整数，假设不存在，说明理由. 【解析】⑴当时， ，且，是以为公差的等差数列，其首项为. 当时， 当时，，； ⑵，得或， 当时，恒成立，所求最小的正整数 ★ 抢 分 频 道 ★ 根底稳固训练 1.(2023广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，那么 A． B． C． D． 【解析】C． 另法：由，，得，，计算知 中，，那么 . 【解析】 中，，当数列的前项和取得最小值时， . 【解析】 由知是等差数列， 共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，那么其公差是 . 【解析】 两式相减，得 5.设数列中，，那么通项 . 【解析】 利用迭加法〔或迭代法〕，也可以用归纳—猜测—证明的方法. 中删去所有的平方数，得到一个新数列，那么这个新数列的第项是 . 【解析】 综合拔高训练 7.(2023广雅中学)等差数列中，. ⑴求数列的通项公式； ⑵假设数列满足，设，且，求的值. 【解析】⑴设数列的公差为，那么 ⑵， 令，得∴当时， 为等差数列的前项和， ⑴当为何值时，取得最大值； ⑵求的值； ⑶求数列的前项和 【解析】⑴等差数列中，公差 ，令 当时，；当时，.当时，取得最大值； ⑵数列是等差数列 ； ⑶由⑴得，当时，；当时，. 9.(2023执信中学)数列满足 ⑴证明：数列是等比数列； ⑵求数列的通项公式； ⑶假设数列满足证明是等差数列. 【解析】⑴证明： ,, 是以为首项，2为公比的等比数列。 ⑵解：由〔I〕得 ⑶证明： 　① 　② ②－①，得 即，　　③ 　④ ④－③，得 即， 是等差数列. 10.(2023北京〕数列满足，是常数. ⑴当时，求及的值； ⑵数列是否可能为等差数列？假设可能，求出它的通项公式；假设不可能，说明理由； ⑶求的取值范围，使得存在正整数，当时总有. 【解析】⑴由于，且， 所以当时，得， 故.从而. ⑵数列不可能为等差数列.证明如下： 由，得 假设存在，使为等差数列，那么，即 于是 这与为等差数列矛盾，所以，对任意，都不可能是等差数列. ⑶记根据题意可知，且，即且 ，这时总存在，满足：当时，bn＞0；当时， 所以，由及可知，假设为偶数，那么，从而当时； 假设为奇数，那么，从而当时 因此“存在，当时总有〞的充分必要条件是：为偶数， 记，那么满足： 故的取值范围是