2023年高考数学一轮复习学案（人教版A版）――平面向量的数量积及应用高中数学.docx

2023年高考数学一轮复习精品学案〔人教版A版〕 平面向量的数量积及应用 一．【课标要求】 1．平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系； ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2．向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，开展运算能力和解决实际问题的能力。 二．【命题走向】 本讲以选择题、填空题考察本章的根本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。 平面向量的综合问题是“新热点〞题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主. 预测2023年高考： 〔1〕一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目. 〔2〕一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质； 三．【要点精讲】 1．向量的数量积 〔1〕两个非零向量的夹角 非零向量a与a，作＝，＝，那么∠AＯA＝θ〔０≤θ≤π〕叫与的夹角； 说明：〔1〕当θ＝０时，与同向； 〔2〕当θ＝π时，与反向； 〔3〕当θ＝时，与垂直，记⊥； 〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。 C 〔2〕数量积的概念 两个非零向量与，它们的夹角为，那么·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积〔或内积〕。规定； 向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影； 〔3〕数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积. 〔4〕向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系：。 ②乘法公式成立 ； ； ③平面向量数量积的运算律 交换律成立：； 对实数的结合律成立：； 分配律成立：。 ④向量的夹角：cos==。 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题. 〔5〕两个向量的数量积的坐标运算 两个向量，那么·=。 〔6〕垂直：如果与的夹角为900那么称与垂直，记作⊥。 两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。 〔7〕平面内两点间的距离公式 设，那么或。 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) . 2．向量的应用 〔1〕向量在几何中的应用； 〔2〕向量在物理中的应用。 四．【典例解析】 题型1：数量积的概念 例1．判断以下各命题正确与否： 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕假设，那么； 〔4〕假设，那么当且仅当时成立； 〔5〕对任意向量都成立； 〔6〕对任意向量，有。 解析：〔1〕错；〔2〕对；〔3〕错；〔4〕错；〔5〕错；〔6〕对。 点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零. 例2． △中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，那么〔ⅰ〕 〔ⅱ〕的取值范围是 . 【解析】设，，，，因为是△的重心，故 ，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得. 〔ⅰ〕，故； 〔ⅱ〕，那么 ，当与重合时，，当位于中点时， ，故，故但因为与不能重合，故 〔2〕设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,那么 ①〔·〕－〔·〕= ②||－||<|－| ③〔·〕－〔·〕不与垂直 ④〔3+2〕〔3－2〕=9||2－4||2中，是真命题的有〔 〕 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：〔1〕答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向. 〔2〕答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边〞，故②真；③因为［〔·〕－〔·〕］·=〔·〕·－〔·〕·=0，所以垂直.故③假；④〔3+2〕〔3－2〕=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。 点评：此题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角 例3．〔1〕过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．假设，，，那么的值为〔 〕 〔A〕4 〔B〕3 〔C〕2 〔D〕1 解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B． 评析：此题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比拟难处理，但是用特殊值的思想就比拟容易处理，考查学生灵活处理问题的能力． 〔2〕向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。 〔3〕两单位向量与的夹角为，假设，试求与的夹角。 〔4〕| |=1，| |=2，= + ，且⊥，那么向量与的夹角为 〔 〕 A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：〔2〕； 〔3〕由题意，，且与的夹角为， 所以，， ， ， 同理可得。 而， 设为与的夹角， 那么。 〔4〕C；设所求两向量的夹角为 　　　 　　即： 所以 点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直〔平行〕的充要条件必需掌握. 例4．〔1〕设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，那么〔 〕 A．－++= B．-+= C．+-= D．++= 〔2〕〔2023广东卷理〕向量与互相垂直，其中． 〔1〕求和的值； 〔2〕假设，求的值． 解 〔1〕∵与互相垂直，那么，即，代入得，又， ∴. 〔2〕∵，，∴， 那么， 2、〔山东临沂2023年模拟〕如图，△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。 （1） 求关于θ的表达式; （2） 求的值域。 解：〔1〕由正弦定理，得 〔2〕由，得 ∴，即的值域为. 3. ,,,。 〔1〕求； 〔2〕设∠BAC＝θ，且cos(θ+x)＝ ，，求sinx 解：〔1〕由 ∴ ∵ ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2, 又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49， ……4分 所以 ……6分 〔2〕在△ABC中， ∴ ……8分 而 如果， 那么 ∴ ……10分 点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题. 题型3：向量的模 例5．〔1〕向量与的夹角为，那么等于〔 〕 A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1 〔2〕〔2023辽宁卷文〕平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，那么 | a＋2b |等于 〔 〕 A. B.2 C.4 D.12 解析 由|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴ 解析：〔1〕B；〔2〕B 点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。 例6．＝〔3，4〕，＝〔4，3〕，求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。 解析：由＝〔3，4〕，＝〔4，3〕，有x+y=(3x+4y,4x+3y)； 又〔x+y〕⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0； 即25x+24y＝０ ①； 又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１； 〔３x+4y〕２＋〔４x+3y〕２＝１； 整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②； 由①②有24xy+25y２＝１ ③； 将①变形代入③可得：y=±； 再代回①得：。 点评：这里两个条件互相制约，注意表达方程组思想。 题型4：向量垂直、平行的判定 例7．向量，，且，那么 。 解析：∵，∴，∴，∴。 例8．，，，按以下条件求实数的值。〔1〕；〔2〕；。 解析： 〔1〕； 〔2〕； 。 点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的根本运算. 题型5：平面向量在代数中的应用 例9．。 分析：，可以看作向量的模的平方，而那么是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明：设 那么。 点评：在向量这局部内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。 例10．，其中。 〔1〕求证：与互相垂直； 〔2〕假设与〔〕的长度相等，求。 解析：〔1〕因为 所以与互相垂直。 〔2〕， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为， 所以。 点评：平面向量与三角函数在“角〞之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。假设根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。 题型6：平面向量在几何图形中的应用 例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。 ：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点〔不与A、B重合〕，求证：∠APB＝90°。 证明：联结OP，设向量，那么且， ，即∠APB＝90°。 点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。 题型7：平面向量在物理中的应用 例13．如以下图，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力. 解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，那么，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，那么，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。 由正六边形的性质还可求得 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。 课后训练： 〔2023北京卷理〕向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A．且c与d同向 B．且c与d反向 C．且c与d同向 D．且c与d反向 答案 D 解析 此题主要考查向量的共线〔平行〕、向量的加减法. 属于根底知识、根本运算的考 查. 取a，b，假设，那么cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 假设，那么cab，dab， 即cd且c与d反向，排除C，应选D. 2、江苏省阜中2023届高三第三次调研考试试题 O为坐标原点, 集合,且 .46 3、(2023山东卷理