2023年例谈解二元一次方程组中的数学思想方法.doc

例谈解二元一次方程组中的数学思想方例谈解二元一次方程组中的数学思想方法法 成晓明 解二元一次方程组的基本思想是消元，求解的主要方法是代入消元法和加减消元法.但是对于一些比较特殊的方程组，仅有这些方法是不够的，下面结合一些典型的例题进行分析，向同学们介绍几种解二元一次方程组常用的思想方法.一、转化思想 例 1 解方程组 5x+y=6，3x-2y=1.【解析】观察方程组中 x、y 的系数的特点，可以将方程变形为 y=6-5x，然后将代入，消去 y，得到关于 x 的一元一次方程，先求出 x，进而再求出y 的值.或者将方程2+消去 y，然后得到关于 x 的一元一次方程求解.例 2 解方程组 7x-11y=7，17x-13y=-7.【解析】观察方程组中 x、y 的系数，既不简单，也不存在倍数关系，用代入消元法和加减消元法数据都相对复杂，再次观察系数，发现+可得 24x-24y=0，化简得 x=y，再利用代入消元法求解就非常简单了.说明：转化思想就是将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识、研究新问题的常用的基本方法.解二元一次方程组实际上就是通过“消元”（代入消元、加减消元）的手段化“二元”为“一元”.二、整体思想 例 3 解方程组 3x-2（x+2y）=3，11x+4（x+2y）=45.【解析】方程和中都含有（x+2y），可以将（x+2y）看作一个整体，2+，从而消去（x+2y），达到消去 y 的目的.例 4 解方程组 3x+2y-2=0，-2x=-3.【解析】方程和中都含有（3x+2y），可以将（3x+2y）看作一个整体，把方程变形为 3x+2y=2，然后将方程代入方程，从而消去（3x+2y），达到消去 y 的目的.说明：解数学题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个小问题，然后逐一解决.然而这种思考方法常常导致解题过程繁杂，运算量大.这时可将注意力和着眼点放在其问题的整体上，突出对问题整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握并解决问题，这就是整体思想.三、数形结合思想 例 5 如图，8 块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，求其中每一个小长方形的面积.【解析】图形中隐含着长和宽的两个关系：一是每块小长方形地砖的长是宽的3 倍，二是长与宽的和为 60 厘米，由此可以设未知数并列方程求出地砖的长和宽，进而求出每一个小长方形的面积.例 6 小明在拼图时，发现 8 个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的矩形，如图（1）所示.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形.咳！怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为 2 mm 的小正方形！你能求出小长方形的长和宽吗？【解析】本题中有两个未知量：长方形的长与宽，而小明和小红的两个拼图恰好给出了两个等量关系：图 1 中得到：长3=宽5，图 2 中得到：宽2-长=2，由此可以设未知数并列方程求出长方形的长和宽，说明：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化.几何问题代数化.上面所举的两例都是巧妙地运用拼图，建立起小长方形的长与宽的关系，将数与形有机结合起来，突破了用语言描述数量关系的常规，突出了数形结合思想的应用.四、类比思想 例 7 已知方程组 2x-3y=1，3x+5y=12.9 的解是 x=2.3，y=1.2.请你用较简便的方法解方程组 2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9.【解析】如果将方程组 2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9 中的（a-1）、（b+2）看做是一个整体，那么 a-1=x，b+2=y，因为方程组 2x-3y=1，3x+5y=12.9 的解是 x=2.3，y=1.2.所以 a-1=2.3，b+2=1.2.这样就可以求出方程组的解了.说明：在平时的数学学习中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习，类比思想其实就是知识的迁移，就是一类问题的解决方法对另一类问题的影响，在学习的过程中，我们应当注意迁移意识的培养.例 8 有同学在解方程组 22x+27y=4，7x+9y=3 时，采用了如下的解法：原方程组化为 x+3（7x+9y）=4，7x+9y=3.将代入得 x+33=4，所以 x=-5，把 x=-5 代入求得 y=，所以原方程组的解为 x=-5，y=.请你用这种方法解方程组 3x+5y=2，11x+20y=6.【解析】方程可以变形为 4（3x+5y）-x=6，然后把方程代入方程，这样就可以达到消去 y 的目的.说明：数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想.类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使知识的记忆变得自然和顺畅，从而可以激发起学习的创造力.五、换元思想 例 9 解方程组 4（x+y）-5（x-y）=2，+=6.【解析】设 x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为关于 m、n 的方程组 4m-5n=2，+=6.方程组形式较为简单，可以先求出 m、n，再求出 x、y.说明：换元法通过用一个字母表示一个整体的方法进行变量的替换，将问题进行转化，从而起到化繁为简、化难为易的目的.