2023年深圳市高三年级第一次调研考试数学理）高中数学.docx

绝密★启用前 试卷类型：A 2023年深圳市高三年级第一次调研考试 数学〔理科〕 2023.3 本试卷共6页，21小题，总分值150分。考试用时120分钟。 本卷须知： 1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。 2．选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。 参考公式： 圆锥的侧面积,其中是圆锥的底面半径,是圆锥母线长. 圆柱的的侧面积,其中是圆柱的底面半径,是圆柱母线长. 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设，假设〔为虚数单位〕为正实数，那么 A．2 B．1 C．0 D． 2．设集合，，那么“〞是“〞的 A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆〔包括圆心〕．那么该组合体的外表积等于 A． B． C． D． 4．曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为 A． B． C． D． 5．函数，，的零点分别为，那么的大小关系是 A． B． C． D． 6．假设曲线：上所有的点均在第二象限内，那么的取值范围为 A． B． C． D． 7．三个正态分布密度函数〔，〕的图象如图2所示，那么 A．， B．， C．， D．， 8．设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数〔〕．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．那么在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为 A．48 B．96 C．144 D．192 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分． 〔一〕必做题〔9～13题〕 9．设等差数列的前项和为，假设，那么 ． 10．，那么= ． 11．假设双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，那么 ． 12．假设不等式对任意的实数恒成立，那么实数的取值范围是 ． 13．图3中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．假设输入，，那么输出 ． 〔注：框图中的的赋值符号“＝〞也可以写成“←〞或“：＝〞〕 〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕 14．〔坐标系与参数方程选做题〕 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为〔参数〕，以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，假设圆的极坐标方程为，那么圆心到直线的距离为 ． 15．〔几何证明选讲选做题〕 如图4，是⊙的切线，是切点，直线交⊙于、两点，是的中点，连结并延长交⊙于点．假设，，那么= ． 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分值12分〕 函数〔其中为正常数，〕的最小正周期为． 〔1〕求的值； 〔2〕在△中，假设，且，求． 17．〔本小题总分值12分〕 如图5，直角梯形所在的平面垂直于平面，，，． 〔1〕在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论； 〔2〕求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 18．〔本小题总分值14分〕 是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立． 〔1〕求的解析表达式； 〔2〕设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值． 19．〔本小题总分值14分〕 某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳〞工程上，现有两个工程供选择： 工程一：新能源汽车．据市场调研，投资到该工程上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和； 工程二：通信设备．据市场调研，投资到该工程上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和． 〔1〕针对以上两个投资工程，请你为投资公司选择一个合理的工程，并说明理由； 〔2〕假设市场预期不变，该投资公司按照你选择的工程长期投资〔每一年的利润和本金继续用作投资〕，问大约在哪一年的年底总资产〔利润＋本金〕可以翻一番？ 〔参考数据：，〕 20．〔本小题总分值14分〕 、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点． 〔1〕求动点的轨迹的方程； 〔2〕过点作直线〔与轴不垂直〕与轨迹交于两点，与轴交于点．假设，，证明：为定值． 21．〔本小题总分值14分〕 在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，． 〔1〕分别计算，和，的值； 〔2〕求数列的通项公式〔将用表示〕； 〔3〕设数列的前项和为，证明：，． 2023年深圳市高三年级第一次调研考试 数学〔理科〕参考答案及评分标准 说明： 1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么． 2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后续局部的解答有较严重的错误，就不再给分． 3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D A D D C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分． 〔一〕必做题〔9～13题〕 9． 27 ． 10． －8 ． 11． 6 ． 12．． 13． 67 ． 〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕 14．． 15．． 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分值12分〕 函数〔其中为正常数，〕的最小正周期为． 〔1〕求的值； 〔2〕在△中，假设，且，求． 解：〔1〕∵ ． ……………………………4分 而的最小正周期为，为正常数， ∴， 解之，得． ………………………6分 〔2〕由〔1〕得． 假设是三角形的内角，那么， ∴． 令，得， ∴或， 解之，得或． 由，是△的内角，且， ∴，，∴． …………………………10分 又由正弦定理，得． …………………………12分 说明：此题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等根底知识，以及运算求解能力． 17．〔本小题总分值12分〕 如图5，直角梯形所在的平面垂直于平面，，，． 〔1〕在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论； 〔2〕求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 解：〔1〕线段的中点就是满足条件的点． ……1分 证明如下： 取的中点连结，那么 ，， …………………2分 取的中点，连结， ∵且， ∴△是正三角形，∴． ∴四边形为矩形， ∴．又∵，………3分 ∴且， 四边形是平行四边形．……………………4分 ∴， 而平面，平面， ∴平面． ……………………6分 〔2〕〔解法1〕过作的平行线，过作的垂线交于，连结， ∵， ∴， 是平面与平面所成二面角的棱．……8分 ∵平面平面，， ∴平面， 又∵平面，∴平面， ∴， ∴是所求二面角的平面角．………………10分 设，那么，， ∴， ∴． ………………………12分 〔解法2〕∵，平面平面， ∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，那么轴在平面内〔如图〕． 设，由，得，，． ∴，， ………………………8分 设平面的法向量为， 那么且， ∴ ∴ 解之得 取，得平面的一个法向量为 . …………………………10分 又∵平面的一个法向量为． ．………………………12分 说明：此题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力． 18．〔本小题总分值14分〕 是二次函数，是它的导函数，且对任意的， 恒成立． 〔1〕求的解析表达式； 〔2〕设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值． 解：〔1〕设〔其中〕，那么， ………………2分 ． 由，得， ∴，解之，得，，， ∴． ………………5分 〔2〕由〔1〕得，，切线的斜率， ∴切线的方程为，即． ………………7分 从而与轴的交点为，与轴的交点为， ∴〔其中〕． ………………9分 ∴． ………………11分 当时，，是减函数； 当时，，是增函数． ………………13分 ∴． ………………14分 说明：此题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力． 19．〔本小题总分值14分〕 某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳〞工程上，现有两个工程供选择： 工程一：新能源汽车．据市场调研，投资到该工程上，到年底可能获利，也可能亏损，且 这两种情况发生的概率分别为和； 工程二：通信设备．据市场调研，投资到该工程上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和． 〔1〕针对以上两个投资工程，请你为投资公司选择一个合理的工程，并说明理由； 〔2〕假设市场预期不变，该投资公司按照你选择的工程长期投资〔每一年的利润和本金继续用作投资〕，问大约在哪一年的年底总资产〔利润＋本金〕可以翻一番？ 〔参考数据