2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品13高中数学.docx

考纲导读 第十三章空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的根本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 知识网络 高考导航 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直 第1课时 空间向量及其运算 根底过关 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法那么： ． (4) 向量减法法那么： ． (5) 数乘向量法那么： ． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a＋b＝ ． (2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ． (3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ． 3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，那么对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 ． 4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，那么向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P ． 共面向量定理的推论： ． 5．空间向量根本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． (2) 空间向量根本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 ． 空间向量根本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 ． 6．空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角： ． (2) 空间向量的长度或模： ． (3) 空间向量的数量积：空间中任意两个向量a、b，那么a·b＝ ． 空间向量的数量积的常用结论： (a) cos〈a、b〉＝ ； (b) ïaï2＝ ； (c) ab ． (4) 空间向量的数量积的运算律： (a) 交换律a·b＝ ； (b) 分配律a·(b＋c)＝ ． 典型例题 例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，假设，求x－y的值. 解：易求得 变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，假设a，b，c，那么以下向量中与相等的向量是 ( ) A．-a＋b＋c B．a＋b＋c A B C D A1 C1 B1 C．a-b＋c D．-a-b＋c 解：A 例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点， 求证：AB1∥平面C1BD. 证明：记那么∴,∴共面. ∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD. 变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN． (1) 求证：MN∥平面FC； (2) 求证：MN⊥AB； (3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？ 解：(1) 设 (2) (3) 设正方体的边长为a, 也即， 例3. 四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心． 求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD． 证明：(1) AD⊥BC．因为ABCD，，而． 所以AD⊥BC． (2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，＝()＝． 变式训练3：平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点．求证：E、F、G、H四点共面． 解：＝ ＝＝＝， 所以共面，即点E、F、G、H共面． 例4. 如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值． D F A G B B1 C1 D1 A1 C E P 解：设 ∴ 又∵E、F、G、P四点共面，∴ ∴ ∴AP︰PC1＝3︰16 变式训练4：空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，假设AB＝OC，求证． 证明：法一： 故 法二：·＝(＋)·(＋) ＝· ＝＝0 小结归纳 1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法那么，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角那么可以利用公式cosθ＝． 4．异面直线间的距离的向量求法：异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，那么｜｜＝. 5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，那么点P到平面α的距离是d＝. 第2课时 空间向量的坐标运算 根底过关 设a＝，b＝ (1) a±b＝ (2) a＝ ． (3) a·b＝ ． (4) a∥b ；ab ． (5) 设 那么＝ ， ． AB的中点M的坐标为 ． 典型例题 例1. 假设＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5) 〔1〕假设(k+)∥(－3)，求实数k的值； 〔2〕假设(k+)⊥(－3)，求实数k的值； 〔3〕假设取得最小值，求实数k的值． 解：(1)； (2)； (3) 变式训练1. 为原点，向量∥，求． 解：设， ∵∥，∴，， ∴，即 解此方程组，得。 ∴，。 例2. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点． (1) 求BM的长； (2) 求的值； x y z B1 C1 A1 C B A M N (3) 求证：． 解：以C为原点建立空间直角坐标系. (1) 依题意得B〔0，1，0〕，M〔1，0，1〕．. (2) 依题意得A1〔1，0，2〕，B〔0，1，0〕，C〔0，0，0〕，B1〔0，1，2〕. . (3) 证明：依题意得C1〔0，0，2〕，N. 变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离； (2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离． A B C P E D · 解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，那么A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，那么＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC， ∴ 即 ，即点N的坐标为(, 0, 1)， 从而N到AB、AP的距离分别为1，. (2) 设N到平面PAC的距离为d，那么d＝ ＝. C D B A P E 例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E在上，且:＝2:1． (1) 证明 平面； (2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小； (3) 在棱PC上是否存在一点F，使∥平面？证明你的结论． 解：〔1〕证明略； 〔2〕易解得； 〔3〕解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系〔如图〕．由题设条件，相关各点的坐标为 所以，， ，设点F是棱上的点，，其中，那么．令得 解得，即时，．亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，∥平面． Z A D G E F C B x y 例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4. (1) 求和点G的坐标； (2) 求GE与平面ABCD所成的角； (3) 求点C到截面AEFG的距离． 解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴ 又∵，设G(0，0，z)，那么(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD的法向量 ，设GE与平面ABCD成角为，那么 ∴ (3)设⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0) ∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3) ∴ 取z0＝4，那么＝(4，－3，4) ∵ 即点C到截面AEFG的距离为． 变式训练4. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点． (1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值； P A G B C D F E (2)求点D到平面PBG的距离； (3)假设F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值． 解：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，那么B(2，0，0)，C(0，2，0)， P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。， ∴GE与PC所成的余弦值为． (2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) ∵， ∴点D到平面PBG的距离为n |＝. (3)设