2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案直线圆锥曲线的综合应用高中数学.docx

8．5 圆锥曲线综合应用 一、明确复习目标 1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 4．了解圆锥曲线的初步应用，掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法． 二．建构知识网络 解析几何是以数来研究形的学科，就是数形结合的学科；解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征，来研究图形的几何性质。 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题；有圆锥曲线科内综合，还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。 复习中应注意掌握解析几何的常用方法，如求曲线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等，通过问题的解决，进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。 三、双基题目练练手 1．(2023北京)设，“〞是“曲线为椭圆〞的〔 〕 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 2．双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，那么此双曲线的方程是 ( 　 ) A．　　B．　　　C．　　　D． 3．(2023江苏)两点M〔－2，0〕、N〔2，0〕，点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，那么动点P〔x，y〕的轨迹方程为〔　〕 〔A〕　　　 〔B〕　　　 〔C〕　　　 〔D〕 4．〔2023江西〕为双曲线的右支上一点,、分别是圆 上的点,那么的最大值为〔　　〕 A．6 B．7 C．8 D．9 5．(2023山东)设直线关于原点对称的直线为，假设与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，那么使的面积为的点的个数为______． 6． 直线l过点M〔1，1〕，与椭圆+=1相交于A、B两点，假设AB的中点为M，那么直线l的方程是________． 简答：1-４．BCBD；　 ４．设左焦点为F1，右焦点为F2，由双曲线定义和三角形边的关系得： ，选D ５．２；　　６． +=1， +=1．相减得 ∴=－·． 又∵M为AB中点，x1+x2=2，y1+y2=2． ∴直线l的斜率为－． 得直线l的方程为3x+4y－7=0． 四、经典例题做一做 【例1】(2023福建) 椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 〔I〕求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； 〔II〕设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。 解：〔I〕 圆过点O、F， 圆心M在直线上。 设那么圆半径 x y l G A B F O 由得 解得 所求圆的方程为 〔II〕设直线AB的方程为 代入整理得 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。 记中点 那么 的垂直平分线NG的方程为 令得 点G横坐标的取值范围为 【例2】(2023天津)如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线． 〔1〕证明，并求直线与轴的交 点的坐标； 〔2〕设直线交椭圆于、两点，证明 ． 〔Ⅰ〕证明：由题设条件知，∽故 ，即 因此，　　　　　　　　　　① 解：在中 ． 于是，直线OA的斜率．设直线BF的斜率为，那么 ． 这时，直线BF与轴的交点为 (Ⅱ)证明：由〔Ⅰ〕，得直线BF得方程为且 ② 由，设、，那么它们的坐标满足方程组 ③ 由方程组③消去，并整理得 ④ 由式①、②和④， 由方程组③消去，并整理得 ⑤ 由式②和⑤， 综上，得到 注意到，得 【例3】A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A假设炮击P地，求炮击的方位角． 解：如以下列图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，那么 P C y x A B D O B〔－3，0〕、A〔3，0〕、C〔－5，2〕． 因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上． 因为kBC=－，BC中点D〔－4，〕， 所以直线PD的方程为y－=〔x+4〕 ① 又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上． 设P〔x，y〕，那么双曲线方程为－=1〔x≥0〕 ② 联立①②，得x=8，y=5， 所以P〔8，5〕．因此kPA==． 故炮击的方位角为北偏东30°． 【例4】 (2023春上海) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验． 设计方案如图：航天器运行〔按顺时针方向〕的轨迹方程为，变轨〔即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线〕后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线局部，降落点为． 观测点同时跟踪航天器． 〔1〕求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； 〔2〕试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 解〔1〕设曲线方程为， 由题意可知，． ． 曲线方程为 〔2〕设变轨点为，根据题意可知 得 ， 或〔不合题意，舍去〕． ． 得 或〔不合题意，舍去〕． 点的坐标为， ． 答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令． 【研讨．欣赏】〔2023重庆〕一列椭圆，。假设椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。 〔Ⅰ〕试证：； 〔Ⅱ〕取，并用表示的面积，试证：且 证：〔I〕由题设及椭圆的几何性质有，故。 设，那么右准线方程为． 因此，由题意应满足即解之得：。 即，从而对任意． 〔II〕设点的坐标为，那么由及椭圆方程易知 。 因，故的面积为， 从而。 令。由，得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。 现在由题设取那么是增数列。 又易知。 故由前已证，知，且。 说明:如果建立Sn与n的函数,讨论单调性比拟复杂. 五．提炼总结以为师 1．解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。 2．对于求曲线方程中参数范围或最值问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解，还有Δ法,几何法,向量法等． 3． 解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． ４．四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一． ５．注意用好以下数学思想、方法： ①数形结合思想；②方程与函数思想；③化归转化思想；④分类讨论思想；⑤对称思想；⑥主元与参数思想．此外，整体思想、正难那么反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法．在复习中必须给予足够的重视，真正发挥其联系知识、简化计算、提高能力中的作用． 同步练习 8．5 圆锥曲线综合应用 【选择题】 1．〔2023湖北〕椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，假设P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P到x轴的距离为　　〔　　〕 A． B．3 C． D． 2．(2023湖北)双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，那么mn的值为 〔　　〕 A． B． C． D． 3．〔2023辽宁〕曲线与曲线的 (　　) A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同 4．(2023湖北)设过点P〔x，y〕的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，假设,且=1,那么P点的轨迹方程是〔　　〕 A． 3x2+Error! Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined.y2=1 (x>0,y>0) B．3x2-y2＝1〔x>0, y>0〕 C．x2-3y2=1(x>0,y>0) D． x2+3y2=1(x>0,y>0) 【填空题】 5．(2023江苏卷)点P〔-3，1〕在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，那么这个椭圆的离心率为_______ 6．(2023江西)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，那么动点P的轨迹为双曲线； ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，假设那么动点P的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线有相同的焦点． 其中真命题的序号为 〔写出所有真命题的序号〕 简答提示：１－４．DAAD；　５．；　６．③④． 【解答题】 7．椭圆的焦点是F1〔－1，0〕,F2〔1，0〕,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项。〔1〕求椭圆方程； 〔2〕假设点P在第三象限，且∠P F1F2=1200，求tan∠F1PF2。 解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴椭圆方程为。 (2)设∠F1PF2=θ,那么∠PF2 F1=600－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到 , ∴化简可得,∴, 从而可求得tan∠F1PF2=。 思维点拨：解与△P F1F2有关的问题〔P为椭圆上的点〕常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF1|+|PF2|=2a来求解。 8．(2023上海文)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M． 〔1〕求抛物线方程； 〔2〕过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标； 〔3〕以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m．0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系． 解：〔1〕抛物线y2=2px的准线为 ∴抛物线方程为y2= 4x． 〔2〕∵点A的坐标是〔4，4〕， 由题意得B〔0，4〕，M〔0，2〕， 又∵F〔1，0〕， ∴ 那么FA的方程为y=〔x－1〕，MN的方程为 解方程组 〔3〕由题意得，圆M的圆心是点〔0，2〕，半径为2． 当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离， 当m≠4时，直线AK的方程为 即为 圆心M〔0，2〕到直线AK的距离，令 时，直线AK与圆M相离；