2023年高考数学考点预测3不等式doc高中数学.docx

2023届新课标数学考点预测： 不等式 不等式是高中数学的重点和难点内容，它渗透到了中学数学课本的各个章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有利工具．单纯考查不等式的考题，一般是中低档难度题，内容多涉及不等式的性质、解法、均值不等式的应用以及含有参数的不等式，在解答题中一般与函数、数列、导数等知识结合，属于中高档难度题．预侧2023年高考不等式的命题趋向：仍会继续保持2023年的命题特点，淡化独立性，突出工具性，以客观题考查不等式的性质和不等式的解法，解答题突出不等式与函数、数列、导数等知识的综合考查，深人考查不等式的证明和逻辑演绎推理能力 一、考点分析 (一) 考试内容： 不等式的根本性质；不等式的证明；不等式的解法；含绝对值的不等式． (二)不等式知识要点 1．不等式的根本概念 不等（等）号的定义： 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. 同向不等式与异向不等式. 同解不等式与不等式的同解变形. 2．不等式的根本性质 （1）（对称性） （2）（传递性） （3）（加法单调性） （4）（同向不等式相加） （5）（异向不等式相减） （6） （7）（乘法单调性） （8）（同向不等式相乘） （异向不等式相除） （倒数关系） （11）（平方法那么） （12）（开方法那么） 3．几个重要不等式 （1） （2）（当仅当a=b时取等号） （3）如果a，b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号） 极值定理：假设那么： 如果P是定值，那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大． 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号） （当仅当a=b时取等号） （7） 4．几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，（当a = b时，） 幂平均不等式： 注：例如：. 常用不等式的放缩法：① ② （2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 假设定义在某区间上的函数f(x)，对于定义域中任意两点有 那么称f(x)为凸（或凹）函数． 5．不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6．不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）． 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解． 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么 （3）无不等理式：转化为有理不等式求解 （4）指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想；应用化归思想等价转化． 注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ① ② 类似于，③ (三)高考考纲对不等式的要求： （1）理解不等式的性质及其证明；（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形，并会简单的应用；（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；切实掌握上述三种方法证明不等式的方法步骤及使用范围,提高数学式的变形能力；（4）掌握简单不等式的解法；掌握含参数不等式的解法及它在函数等方面的应用；（5）理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|．对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合． (四)高考对不等式的考查侧重以下几个方面： 1．不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现，有时与充要条件的知识联系在一起．解答此类题目要求考生要有较好、较全面的根底知识，一般难度不大． 2．高考试卷中，单纯不等式的考题，一般是中档难度题，内容多涉及不等式的性质和解法，以及重要不等式的应用．解不等式的考题常以填空题和解答题的形式出现．在解答题中，含字母参数的不等式问题较多，需要对字母参数进行分类讨论，这类考题多出现在文科试卷上． 3．证明不等式近年来逐渐淡化，但假设考试卷中出现不等式证明，那么往往不是单独的纯不等式证明，而是与函数、三角、解析几何、数列、导数等知识综合考查，这时有可能是压轴题或倒数第二题．此类考题区分度高，综合性强，与同学们平时联系的差距较大，考生要有较强的逻辑思维能力和较高的数学素质才能取得较好的成绩．这类考题往往是理科试卷中经常出现的题型． 4．应用问题是近年数学高考命题的热点，近些年高考试题带动了一大批“以实际问题为背景，以函数模型，以重要不等式为解题工具〞的应用题问世．解此类考题在合理地建立不等关系后，判别式、重要不等式是常用的解题工具． 5．含有绝对值的不等式经常出现在高考试卷中，有关内容在教材中安排较少，考生解此类问题大多感觉困难，这与平时练习量缺乏有关，对此应有所加强． 6．解不等式的根本思想是转化，解题思路是利用不等式的性质及结合有关函数的性质把问题转化为一元一次不等式、一元二次不等式、含有根本初等函数的最根本不等式，然后求解．在这里着重强调的是，解不等式是在不等式有意义的前提下求出满足不等式的未知数取值的集合，在解无理不等式、对数不等式时，要注意其定义域． 二．应试对策与考题展望 1．在复习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练，以便快速、准确求解．在解或证明含有参数不等式的过程中，一般要对参数进行分类讨论，因此，还要加强分类讨论思想的训练，做到分类合理、不重不漏．由于不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化，所以，强化函数与方程思想在不等式中的应用训练十分必要． 2．高考中，对不等式的考查不是单一的，所以此类考题往往综合性强，难度也较大，应用极其广泛，诸如求最值、比较大小、函数性质(定义域、值域、单调性、有界性、最值)的研究、方程解的讨论、曲线类型和两曲线位置关系的判定等等．因此，复习时应强化理解不等式的应用，注意多知识点的相互渗透． 3．在复习不等式时，一要注意强化含参数不等式的解法与证明的训练，尤其是理科考生更应注意到这一点；二要加强以函数为载体的不等式练习，如果以函数为背景考题出现在试卷上，一定与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高；三要灵活处理以导数为载体的导数、不等式、函数大型综合问题，这类代数推理考题在复习时一定要倍加关注． 三．经典例题剖析 考点一：不等式的性质 不等式的性质是解不等式与证明不等式的理论根据，必须透彻理解，且要注意性质使用的条件；比较两个实数的大小，一般用作差法，有时也可用作商法，其实质上是不等式性质的应用，当然它也是不等式证明的一种方法． 例1．设实数满足以下三个条件：；；。请将按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。 解： 又因为 ，所以 . 点评：正确找到一个合理的解题程序，可大大提高解题速度． 例2．设，求的取值范围． 解：因为 ，，所以， ，，那么 又因为,，所以, 故． 点评：严格依据不等式的根本性质和运算法那么是正确解答此类题目的保证． 例3．(宁夏银川一中2023届高三年级第三次模拟考试)设a∈R且a≠-,比较与-a的大小． 解：-()=, 当且时,∵ ,∴． 当时, ∵ ,∴=． 当时,∵ ,∴. 点评：比较大小的常用方法是：作差比较与作商比较．在数的比较大小过程中，要遵循这样的规律，异中求同即先将这些数的局部因式化成相同的局部，再去比较它们剩余局部，就会很轻易啦．一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法，前者和零比较，后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1，在这些数中，有的比1大，有的比1小；(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等． 考点二：含参数的不等式问题 含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转化，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在转化过程中对问题的影响． 例4．(福建德化一中2023年秋季高三第二次质量监控考试)对一切实数都有，且当＞时，＜（1）证明为奇函数且是上的减函数；（2）假设关于的不等式对一切恒成立，求m的取值范围. （1）证明：依题意取，∴. 又取可得，∴ 由x的任意性可知为奇函数，又设 ∴，∵，∴ ∴在R上减函数． （2）解：∵函数是奇函数，∴由得 ∴即，又∵是上的减函数，∴恒成立， 当时，，故此时的最小值为，∴． 点评：在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.对于不等式恒成立问题，除了运用分类讨论的方法外，还可采用别离参数的方法，即对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题． 例5．(山东省泰安市2023年高三11月教学质量检测)设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立，（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q〞为真命题，且“p且q〞为假命题，求实数a的取值范围． 解：（1）假设命题p为真，即恒成立 ① 当a=0时，不合题意 ，② 当时，可得即， （2）令，由得，的值域为，假设命题q为真，那么．由命题“p或q〞为真且“p且q〞为假，得 命题p、q一真一假，① 当p真q假时，a不存在；② 当p假q真时，． ． 点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法．在解答有关不等式问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它表达了化整为零、各个击破的解题策略．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置．解答分类讨论问题的根本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论． 例6．(广东省深圳中学2023—2023学年度高三第一学段考试)函数，（1）试判断函数的单调性并加以证明；（2）当恒成立时，求实数a的取值范围． 解：（1）函数的定义域为R，函数在R上是增函数， 设是R内任意两个值，并且那么 ， 即，是R上的增函数． （2），， ，， 即，当 点评：一般地对不等式恒成立有以下几种情形：①f(x)≥g(k) <==> [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) <==> g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max≤g(k)，④f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max < g(k)． 例7．(福建省八闽高中2023年教学协作组织联考)设，且 （e为自然对数的底数）（1）求p与q的关系；（2）假设在其定义域内为单调递增函数，求p的取值范围；（3）设且，假设在上至少存在一点，使得成立，求实数p的取值范围． 解：（1） 由题意得 f （e） = pe－－2ln e = qe－－2 Þ （p－q） （e + ） = 0. 而 e + ≠0 ，