2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版18.docx

一九九八年全国高中数学联合竞赛 一、选择题（此题总分值36分，每题6分） 1． 假设a > 1, b > 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 那么lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A）等于lg2 （B）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 2.假设非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},那么能使AÍA∩B成立的所有a的集合是( ) （A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9} (C) {a | a≤9} (D) Ø 3.各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn ,假设S10 = 10, S30 = 70, 那么S40等于( ) (A) 150 (B) - 200 (C) 150或 - 200 (D) - 50或400 4.设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0与a2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同； 命题Q：==． 那么命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件 (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,那么二面角C—FG—E的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) －arctan (D) π－arccot 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 此题总分值54分,每题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1．假设f (x) (xÎR)是以2为周期的偶函数, 当xÎ[ 0, 1 ]时,f(x)=x，那么f()，f()，f()由小到大排列是 ． 2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________. 3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种. 4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项. 5．假设椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，那么实数a的取值范围是 ． 6．DABC中, ÐC = 90o, ÐB = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，此时三棱锥A-BCM的体积等于__________. 三、（此题总分值20分） 复数z=1－sinθ+icosθ(<θ<π)，求z的共轭复数的辐角主值． 四、（此题总分值20分） 设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| £ 5都成立． 问：a为何值时l(a)最大 求出这个最大的l(a)．证明你的结论. 五、（此题总分值20分） 抛物线y 2 = 2px及定点A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ¹ 0, b 2 ¹ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2． 求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ¹ M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标． 第二试 一、（总分值50分）如图，O、I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。 注：△ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。 二、（总分值50分）设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈[1，2]且a=b， 求证：≤a．并问：等号成立的充要条件． 三、（总分值50分）对于正整数a、n，定义Fn(a)=q＋r，其中q、r为非负整数，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数a≤A，都有 F(F(F(F(F(F(a))))))=1．证明你的结论． 一九九八年全国高中数学联赛解答 第一试 一．选择题（此题总分值36分，每题6分） 1．假设a > 1, b > 1, 且lg (a + b) = lg a + lg b, 那么lg (a –1) + lg (b –1) 的值( ) （A）等于lg2 （B）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 解：a+b=ab，(a－1)(b－1)=1，由a－1>0，b－1>0，故lg(a－1)(b－1)=0，选C． 2．假设非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},那么能使AÍA∩B成立的所有a的集合是( ) （A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9} (C) {a | a≤9} (D) Ø 解：AÍB，A≠Ø．Þ 3≤2a+1≤3a－5≤22，Þ6≤a≤9．应选B． 3．各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n ,假设S10 = 10, S30 = 70, 那么S40等于( ) (A) 150 (B) -200 (C) 150或 -200 (D) -50或400 解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴ q20+q10+1=7．Þq10=2．(－3舍) ∴ S40=10(q40－1)=150．选A． 4.设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0与a 2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同; 命题Q：==． 那么命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件 (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 解：假设两个不等式的解集都是R，否认A、C，假设比值为－1，否认A、B，选D． 5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,那么二面角C—FG—E的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) －arctan (D) π－arccot 解：取AD、BD中点H、M，那么EH∥FG∥BD，于是EH在平面EFG上．设CM∩FG=P，AM∩EH=Q，那么P、Q分别为CM、AM中点，PQ∥AC． ∵ AC⊥BD，ÞPQ⊥FG，CP⊥FG，Þ∠CPQ是二面角C—FG—E的平面角． 设AC=2，那么MC=MA=，cos∠ACM==． ∴ 选D． 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心． ⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组； ⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B． 二、填空题( 此题总分值54分,每题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1．假设f (x) (xÎR)是以2为周期的偶函数, 当xÎ[ 0, 1 ]时,f(x)=x，那么f()，f()，f()由小到大排列是 ． 解：f()=f(6－)=f()．f()=f(6－)=f()，f()=f(6+)=f()． 现f(x)是[0，1]上的增函数．而<<．故f()<f()<f()． 2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________. 解： =++=+－+－ =+－ =(1+i)z+2－z=iz+2 =(2cosθ－sinθ)+i(cosθ－2sinθ)． ∴ |OS|2=5－4sin2θ≤9．即|OS|≤3，当sin2θ=1，即θ=时，|OS|=3． 3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种. 解：从这10个数中取出3个偶数的方法有C种，取出1个偶数，2个奇数的方法有CC种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0，2，4)，(0，2，6)，(0，1，3)，(0，1，5)，(0，1，7)，(0，3，5)，(2，1，3)，(2，1，5)，(4，1，3)，共有9种，故应答10+50－9=51种． 4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项. 解：设其首项为a，项数为n．那么得a2+(n－1)a+2n2－2n－100≤0． △=(n－1)2－4(2n2－2n－100)=－7n2+6n+401≥0．∴ n≤8． 取n=8，那么－4≤a≤－3．即至多8项． (也可直接配方：(a+)2+2n2－2n－100－()2≤0．解2n2－2n－100－()2≤0仍得n≤8．) 5．假设椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，那么实数a的取值范围是 ． 解：2y=4－4(y－a)2，Þ2y2－(4a－1)y+2a2－2=0．此方程至少有一个非负根． ∴ △=(4a－1)2－16(a2－1)=－8a+17≥0．a≤． 两根皆负时2a2>2，4a－1<0．Þ－1<a<1且a<．即a<－1．∴－1≤a≤． 6．DABC中, ÐC = 90o, ÐB = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，此时三棱锥A－BCM的体积等于 ． 解：由，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2，由△