函数项级数的一致收敛性及其应用应用数学专业.doc

函数项级数的一致收敛性及其应用 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers 目 录 1 引言……………………………………………………………………………………………………1 2 函数项级数的相关概念介绍…………………………………………………………………………2 2.1 函数列及其一致收敛性………………………………………………………………………2 2.2 函数项级数及其一致收敛性…………………………………………………………………3 2.3 一致收敛函数项级数的性质…………………………………………………………………4 3 函数项级数的一致收敛性判别法……………………………………………………………………5 3.1 一般判别法……………………………………………………………………………………5 3.2 魏尔斯特拉斯判别法…………………………………………………………………………7 3.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法……………………………………………………………7 3.3.1 阿贝尔判别法……………………………………………………………………… 8 3.3.2 狄利克雷判别法…………………………………………………………………… 8 3.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法…………………………………… 10 3.4.1 比式判别法…………………………………………………………………………10 3.4.2 根式判别法…………………………………………………………………………11 3.4.3 对数判别法…………………………………………………………………………12 3.5 Dini判别法…………………………………………………………………………………13 4 幂级数的应用……………………………………………………………………………………… 14 4.1 幂级数的定义……………………………………………………………………………… 14 4.2 幂级数的应用……………………………………………………………………………… 14 4.2.1 幂级数在近似计算中的应用………………………………………………………14 4.2.2 幂级数在计算积分中的应用………………………………………………………15 4.2.3 幂级数在求极限中的应用…………………………………………………………15 4.2.4 幂级数在数列求和中的应用………………………………………………………16 4.2.5 幂级数在欧拉公式推导中的应用…………………………………………………16 4.2.6 幂级数在求导中的应用……………………………………………………………17 4.2.7 幂级数在概率组合中的应用………………………………………………………17 4.2.8 幂级数在证明不等式中的应用……………………………………………………18 4.2.9 用幂级数形式表示某些非初等函数………………………………………………18 5 总结……………………………………………………………………………………………………19 致谢………………………………………………………………………………………………………20 参考文献…………………………………………………………………………………………………21 1 引言 随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响(朱正佑,2001)[1].函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数——幂级数为例，对其在计算方面的应用进行举例说明. 2 函数项级数的相关概念介绍 2.1 函数列及其一致收敛性 定义1 设 是一列定义在同一数集上的函数，称为定义在上的函数列，也可简单的写作： 或，. 设，以代入可得数列 若数列收敛，则称函数列在点收敛，称为函数列的收敛点.若数列发散，则称函数列在点发散.若函数列在数集上每一点都收敛，则称在数集上收敛.这时上每一点，都有数列的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的上的函数，称为函数列的极限函数.若极限函数记作，则有 ， 或 ，. 使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域. 定义2 设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有 ， 则称函数列在上一致收敛于，记作 , . 注：本文用“”表示一致收敛. 由定义看到，如果函数列在上一致收敛，那么对于所给的，不管上哪一点，总存在公共的（即的选取仅与有关，与的取值无关），只要，都有 . 由此可以看到函数列在上一致收敛，必在上每一点都收敛.反之，在上每一点都收敛的函数列，在上不一定一致收敛. 2.2 函数项级数及其一致收敛性 定义3 设{}是定义在数集上的一个函数列， 表达式 ++…++…， 　　　　　　　 （1） 称为定义在上的函数项级数，简记为 或。称 ，， 为函数项级数的部分和函数列。 若，数项级数 （2） 收敛，即部分和当时极限存在，则称级数（1）在点收敛，称为级数（1）的收敛点．若级数（2）发散，则称级数（1）在点发散.若级数（1）在的某个子集上每点都收敛，则称级数（1）在上收敛．若为级数（1）全体收敛点的集合，这时则称为级数（1）的收敛域．级数（1）在上每一点与其所对应的数项级数（2）的和构成一个定义在上的函数，称为级数（1）的和函数，并写作 ，, 即 ，． 　　也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性． 定义4 设{}是函数项级数的部分和函数列．若{}在数集上一致收敛于函数,则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛(华东师范大学数学系，2001)[2]. 2.3 一致收敛函数项级数的性质 定理1 （连续性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在上也连续. 它指出：（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 . 定理2 (逐项求积)若函数项级数在上一致收敛，且每一项都连续，则 . 此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序. 定理3 (逐项求导)若函数项级数在上每一项都有连续的导函数，为的收敛点，且在上一致收敛，则 . 此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序(陶桂秀，2005)[3]. 3 函数项级数的一致收敛性判别法 3.1