2023年一类新定义下的连续不可导的函数.doc

一类新定义下的连续不可导的函数一类新定义下的连续不可导的函数 马涛 【摘要】设 f（x）是定义在a，b上的精致函数，有（1）f（x）在a，b上的弧长无限.（2）f（x）在a，b上是处处连续处处不可导的.【关键词】函数;几乎精致;弧长 一、引 言 对处处连续处处不可导的这一类函数，古今有一些研究，大致可分为两类，第一类为维尔斯特纳斯以三角级数构造的，如下 其中，11+3 2.这类函数偏重代数性质，忽略了几何性质.第二类为分子布朗运动形成的轨迹，具有一定的几何性，但近似于震荡的，几何结构过于单一化了，且是随机的.新定义的这类函数，有精致的几何结构，且在不同量级的尺度下测量，具有不同的几何结构，从而使得几何结构变得丰富多彩，使得几何结构不具有确定的答案.其中，蕴含了分形的思想，偏重于几何结构，更在意于小量级下的结构，这和量子所处的尺度相重叠，都着重于描叙精细结构，探索微观下的性质.二、预备知识 数列与序列：数列an.：n+.序列an.可以使得，n+.数序基础：a，bR，且 ab，那么，a，b 之间必定包含 R 上无穷多个数;对大于或小于关系，R 上满足完备性.符号意义：I=1，2，3，n，nN+，称 I 为指标集.A，B 为任意集合，AB 表出 A 属于 B 的子集.数量级上的比较定义：a1a2 是正实数集上任意两个元素.设定a代表正实数a 的数量级，等价于，n1n2.其中，a1a2，a1=10n1，a2=10n2;数量级计数表示为 a=aa，a1，10）.称 x 的值为精度.无特殊声明外，一律在闭区间讨论.定义 1 有 f（x）在a，b上有定义，也可以定义在（-，+）上.给 x0a，b，在给定的 0 下，（x0，）满足下述条件：在某一点的右邻域或左邻域满足精致定义，称，该点的右边或左边是单边精致的.除特殊聲明外，一般在+（x0，）内讨论.存在性.显然的，P0 点精致性可以决定于尺度远远小于 的微观结构.证毕.例 如布朗运动的几何结构为病态的精致函数图像，其中改变了|ai|，|ai-1|的范围，使得|ai|+;|ai-1|+.定义 2 变换 称为连续形变.假如满足如下条件.只对函数关系图像有效，且：变换后关系依然为函数关系.变换前后，弧长（或弧面.）具有不可伸缩性.变换前后，函数关系图像都为连续的.三、主要结论 定理 1 f（x）是定义在a，b上的精致函数，则 f（x）在a，b上的图像总弧长趋于无穷.证 由定义可知，f（x）在a，b上是连续的，则弧长是存在的.证毕.直观上的反映：当弧长为有限值，分割区间长度趋于零，则分割区间上的弧长是没有阻碍趋近于零;当弧长为精致弧长，分割区间长度趋于零，则分割区间上的弧长总存在精度阻碍其趋于近零.证毕.以上结论表明，以精致函数图像作积分路线，被积函数正则的条件下，其第一类线路积分大多是发散的，这也是精致函数区别于一般函数的重要特征.四、结束语 本文研究了新定义下的，处处连续处处不可导一类函数，并分析了其中一些性质，得到了一些结果，如任意子区间上的弧长无限性，任意子区间内不存在单调性，线路积分在正则条件下的发散性.确切地说，在量子尺度的量级上更具有意义，很自然可以想到，将精致的概念进一步推广，扩展到精致曲面，以及更高维度的几何体，容易推测，它们在有限的区域内蕴含无穷大的边界.【参考文献】1华东师范大学数学系.数学分析：第四版M.北京：高等教育出版社，2018.2何穗，刘敏思.实变函数M.武汉：华中师范大学出版社，2013.3何书元.随机过程M.北京：北京大学出版社，2008.4孙炯，郝晓玲，贺飞，王万义，赫建文.泛函分析：第二版M.北京：高等教育出版社，2018.