2023年一道越南数学奥赛题的另证推广与加强.doc

一道越南数学奥赛题的另证、推广与加一道越南数学奥赛题的另证、推广与加强强 黄锦涛 谢涛 叶济宇 摘 要：本文以一道 2018 年越南数学奥林匹克竞赛题为背景，给出了这道试题的另一种证法，接着给出了四元推广和加强并进行了证明，最后给出了 n 元推广和加强.关键词：越南奥赛;推广;证明 1 試题呈现 试题（2018 年越南数学奥林匹克竞赛）已知 a，b，c 是满足 ab+bc+ca=abc的正数，求证：b+ca2+c+ab2+a+bc22.2 试题解析 文1对这道竞赛题进行了证明，下面给出另外一种证明方法.证明 因为（a-b）20，所以（a+b）24ab，a+b4aba+b=41a+1b.同理 b+c41b+1c，c+a41c+1a.根据基本不等式可得 b+ca2=1a2（b+c）1a241b+1c=41a21b+1c.同理有 c+ab241b21c+1a，a+bc241c21a+1b.所以 b+ca2+c+ab2+a+bc2 4（1a21b+1c+1b21c+1a+1c21a+1b）.由权方和不等式得 1a21b+1c+1b21c+1a+1c21a+1b（1a+1b+1c）22（1a+1b+1c）=12（1a+1b+1c）.再由 ab+bc+ca=abc 得 1a+1b+1c=1.所以 b+ca2+c+ab2+a+bc2412=2.3 试题推广 通过观察，可以发现这道题可以推广到四元，相应的题目如下：推广 1 已知 a，b，c，d 是满足 abc+abd+acd+bcd=abcd 的正数，求证：b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd23.证明 由均值不等式有 ba2+ba2+ab23a，ca2+ca2+ac23a，da2+da2+ad23a;cb2+cb2+bc23b，db2+db2+bd23b，ab2+ab2+ba23b;dc2+dc2+cd23c，ac2+ac2+ca23c，bc2+bc2+cb23c;ad2+ad2+da23d，bd2+bd2+db23d，cd2+cd2+dc23d.将以上十二个式子相加得 b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd23（1a+1b+1c+1d）=3.评注 本题还可以推广到 n 元（证明方法同上，具体证明留给读者）.推广 2 已知 a1，a2，an（nN*）是满足 a1a2an-1+a1an-2an+a2an-1an=a1a2an 的正数，求证：a2+ana21+a3+a1a22+a1+an-1a2nn-1.将这道越南竞赛题中的约束条件 ab+bc+ca=abc 去掉，可得 2005 年罗马尼亚数学奥林匹克试题：推广 3 已知 a，b，c 是正实数，求证：b+ca2+c+ab2+a+bc22（1a+1b+1c）.文2把此题加强为：推广 4 b+ca2+c+ab2+a+bc2 22c21a+1b+2a21b+1c+2b21c+1a 21a+1b+1c+22a-1b-1c21a+1b+1c.同理去掉四元推广式中的约束条件 abc+abd+acd+bcd=abcd 有相应题目如下：推广 5 已知 a，b，c，d 是正实数，求证：b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd231a+1b+1c+1d.接着可以对其进行加强，得到题目如下：推广 6 已知 a，b，c，d 是正实数，求证：b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd233a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c31a+1b+1c+1d+43a-1b-1c-1d231a+1b+1c+1d.证明 由基本不等式有 b+c+da2=1a2（b+c+d）1a291b+1c+1d=9a21b+1c+1d.同理 c+d+ab29b21c+1d+1a，d+a+bc29c21d+1a+1b，a+b+cd29d21a+1b+1c.把上面四式相加得 b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd233a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c.下证 3a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c1a+1b+1c+1d+43a-1b-1c-1d291a+1b+1c+1d.为了计算方便，先证明 3a2b+c+d+3b2c+d+a+3c2d+a+b+3d2a+b+ca+b+c+d+4（3a-b-c-d）29（a+b+c+d）.因为 3a-b-c-d2b+c+d=9a2b+c+d-6a+b+c+d，3b-c-d-a2c+d+a=9b2c+d+a-6b+c+d+a，3c-d-a-b2d+a+b=9c2d+a+b-6c+d+a+b，3d-a-b-c2a+b+c=9d2a+b+c-6d+a+b+c，将上述四个式子相加，得 9a2b+c+d+9b2c+d+a+9c2d+a+b+9d2a+b+c=3a-b-c-d2b+c+d+3b-c-d-a2c+d+a+3c-d-a-b2d+a+b+3d-a-b-c2a+b+c+3a+b+c+d.由權方和不等式得 3a-b-c-d2b+c+d+3b-c-d-a2c+d+a+3c-d-a-b2d+a+b+3d-a-b-c2a+b+c 3a-b-c-d2b+c+d+b+c+d-3a23a+2b+2c+2d=3a-b-c-d21b+c+d+13a+2b+2c+2d 3a-b-c-d21+123a+b+c+d=43a-b-c-d23a+b+c+d.所以 3a2b+c+d+3b2c+d+a+3c2d+a+b+3d2a+b+ca+b+c+d+43a-b-c-d29a+b+c+d.作变换 a1a，b1b，c1c，d1d 得 3a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c 1a+1b+1c+1d+43a-1b-1c-1d291a+1b+1c+1d.故 b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd 23 3a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c31a+1b+1c+1d+43a-1b-1c-1d231a+1b+1c+1d.注 本题还可以对 n 元推广式进行加强（证明方法同上，具体证明留给读者）.推广 7 已知 a1，a2，an（nN*）是正实数，求证：a2+ana21+a3+a1a22+a1+an-1a2nn-1n-1a211a2+1a3+1an+n-1a221a3+1a4+1a1+n-1a2n1a1+1a2+1an-1 n-11a1+1a2+1an+nn-1a1-1a2-1a3-1an2n-11a1+1a2+1an.参考文献：1周瑜芽.巧用均值不等式证明 2018 年数学奥林匹克不等式题J.中学数学研究，2019（03）：49-50.2叶大文，邹守文.若干国际国内数学奥林匹克不等式问题的加强J.保山师专学报，2009，28（02）：61-64.（收稿日期：2019-11-13）