2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品14高中数学.docx

第十四章导数及其应用 考纲导读 1．了解导数概念的某些实际背景〔如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等〕；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2. 熟记八个根本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么，了解复合函数的求导法那么，会求某些简单函数的导数. 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． 知识网络 高考导航 导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大〔小〕值，以及最大〔小〕值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数. 第1课时 变化率与导数、导数的计算 根底过关 1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ． 2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数. 3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 . 4．求导数的方法 (1) 八个根本求导公式 ＝ ； ＝ ；(n∈Q) ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ (2) 导数的四那么运算 ＝ ＝ ＝ ，＝ (3) 复合函数的导数 设在点x处可导，在点处可导，那么复合函数在点x处可导， 且＝ ，即. 典型例题 例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 解 ∵Δy= 变式训练1. 求y=在x=x0处的导数. 解 例2. 求以下各函数的导数： 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 解 (1)∵ ∴y′ 〔2〕方法一 y=〔x2+3x+2〕〔x+3〕=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11. 方法二 = =〔x+3〕+〔x+1〕〔x+2〕 =〔x+2+x+1〕〔x+3〕+〔x+1〕〔x+2〕=〔2x+3〕〔x+3〕+〔x+1〕〔x+2〕=3x2+12x+11. 〔3〕∵y= ∴ 〔4〕 ， ∴ 变式训练2：求y=tanx的导数. 解 y′ 例3. 曲线y= 〔1〕求曲线在x=2处的切线方程； 〔2〕求曲线过点〔2，4〕的切线方程. 解 〔1〕∵y′=x2,∴在点P〔2，4〕处的切线的斜率k=|x=2=4.  ∴曲线在点P〔2，4〕处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 〔2〕设曲线y=与过点P〔2，4〕的切线相切于点， 那么切线的斜率k=|=. ∴切线方程为即 ∵点P〔2，4〕在切线上，∴4= 即∴ ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练3：假设直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，那么k= . 答案 2或 例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3. 〔1〕求的解析式； 〔2〕证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. 〔1〕解 ， 于是解得或 因为a,bZ，故 〔2〕证明 在曲线上任取一点． 由知，过此点的切线方程为 ． 令x=1，得，切线与直线x=1交点为． 令y=x，得，切线与直线y=x的交点为． 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为． 所以，所围三角形的面积为定值2. 变式训练4：偶函数f〔x〕=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P〔0，1〕，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f〔x〕的解析式. 解 ∵f〔x〕的图象过点P〔0，1〕，∴e=1. ① 又∵f〔x〕为偶函数，∴f〔-x〕=f〔x〕. 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0，d=0. ② ∴f〔x〕=ax4+cx2+1. ∵函数f〔x〕在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为〔1，-1〕. ∴a+c+1=-1. ③ ∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④ 由③④得a=，c=.∴函数y=f〔x〕的解析式为 小结归纳 1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。 2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导. 3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论根底. 第2课时 导数的概念及性质 根底过关 1． 函数的单调性 ⑴ 函数y＝在某个区间内可导，假设＞0，那么为 ；假设＜0，那么为 .〔逆命题不成立〕 (2) 如果在某个区间内恒有，那么 . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数的 ； ② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数的间断点〔即的无定义点〕的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成假设干个小区间； ④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 〔或 〕，那么称为函数的一个极大〔小〕值．称为极大〔小〕值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数； ② 求方程＝0的 ； ③ 检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得 . 3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，那么函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行： ① 求y＝在(a ,b )内的 值； ② 将y＝的各 值与、比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (3) 假设函数y＝在[a ,b ]上单调递增，那么为函数的 ，为函数的 ；假设函数y＝在[a ,b ]上单调递减，那么为函数的 ，为函数的 . 典型例题 例1. f(x)=ex-ax-1. 〔1〕求f(x)的单调增区间； 〔2〕假设f(x〕在定义域R内单调递增，求a的取值范围； 〔3〕是否存在a,使f(x)在〔-∞，0］上单调递减，在［0，+∞〕上单调递增？假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由. 解：=ex-a. 〔1〕假设a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. 假设a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). 〔2〕∵f〔x〕在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立. ∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立. ∴a≤〔ex〕min，又∵ex>0，∴a≤0. 〔3〕方法一 由题意知ex-a≤0在〔-∞，0］上恒成立. ∴a≥ex在〔-∞，0］上恒成立.∵ex在〔-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞〕上恒成立. ∴a≤ex在［0，+∞〕上恒成立.∴a≤1，∴a=1. 方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1. 变式训练1. 函数f(x)=x3-ax-1. 〔1〕假设f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； 〔2〕是否存在实数a,使f(x)在〔-1，1〕上单调递减？假设存在，求出a的取值范围；假设不存在，说明理由； 〔3〕证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. 〔1〕解 由=3x2-a,∵f(x)在〔-∞,+∞〕上是单调增函数， ∴=3x2-a≥0在〔-∞,+∞〕上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立. ∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数，那么a≤0. 〔2〕解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.当a=3时，=3(x2-1), 在x∈(-1,1)上，<0,即f(x)在〔-1，1〕上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在〔-1，1〕上单调递减. 〔3〕证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方. 例2. 函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x〕在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，假设x=时，y=f(x〕有极值. 〔1〕求a,b,c的值； 〔2〕求y=f(x〕在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 〔1〕由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b, 当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ① 当x=时，y=f(x)有极值，那么=0,可得4a+3b+4=0 ② 由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5. 〔2〕由〔1〕可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4, 令=0,得x=-2,x=. 当x变化时，y,y′的取值及变化如下表： x -3 (-3,-2) -2 1 y′ + 0 - 0 + y 8 单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 单调递增 ↗ 4 ∴y=f〔x〕在［-3，1］上的最大值为13，最小值为 变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值. 解 先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1. 导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ - 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4. 例3. 函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.