2023年高中数学竞赛标准讲义第七章解三角形doc高中数学.docx

2023高中数学竞赛标准讲义：第七章：解三角形 一、根底知识 在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。 1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。 推论1：△ABC的面积为S△ABC= 推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，那么a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。 2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，那么AD2= （1） 【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos， 所以c2=AD2+p2-2AD·pcos ① 同理b2=AD2+q2-2AD·qcos， ② 因为ADB+ADC=， 所以cosADB+cosADC=0， 所以q×①+p×②得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2= 注：在（1）式中，假设p=q，那么为中线长公式 （2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 所以S△ABC= 二、方法与例题 1．面积法。 例1 （共线关系的张角公式）如下列图，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，那么P，Q，R的共线的充要条件是 【证明】P，Q，R共线 (α+β)=uwsinα+vwsinβ ，得证。 2．正弦定理的应用。 例2 如下列图，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，那么P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。 所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。 所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。 所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证： 例3 如下列图，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。 【证明】 延长PA交GD于M， 因为O1GBC，O2DBC，所以只需证 由正弦定理， 所以 另一方面，， 所以， 所以，所以PA//O1G， 即PABC，得证。 3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，那么a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，那么 abc=(x+y)(y+z)(z+x) =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。 例5 设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求的最大值。 【解】 由题设，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 那么tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤， 当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax= 例6 在△ABC中，假设a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc< 【证明】 设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β. 因为a, b, c为三边长，所以c<, c>|a-b|， 从而，所以sin2β>|cos2α·cos2β|. 因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β =[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] =+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β) >+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=. 所以a2+b2+c2+4abc< 三、根底训练题 1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=，那么cosAcosB的最大值为__________. 2．在△ABC中，假设AB=1，BC=2，那么的取值范围是__________. 3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，那么△ABC的面积为__________. 4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，那么=__________. 5．在△ABC中，“a>b〞是“sinA>sinB〞的__________条件. 6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，那么角A的取值范围是__________. 7．在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC=__________. 8．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列〞是“tan〞的__________条件. 9．在△ABC中，假设sinC=2cosAsinB，那么三角形形状是__________. 10．在△ABC中，tanA·tanB>1，那么△ABC为__________角三角形. 11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。 12．锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。 13．△ABC中，sinC=，试判断其形状。 四、高考水平训练题 1．在△ABC中，假设tanA=, tanB=，且最长边长为1，那么最短边长为__________. 2．n∈N+，那么以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个. 3．p, q∈R+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4．在△ABC中，假设sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，那么△ABC 为__________角三角形. 5．假设A为△ABC 的内角，比较大小：__________3. 6．假设△ABC满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状为__________. 7．满足A=600，a=, b=4的三角形有__________个. 8．设为三角形最小内角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，那么a的取值范围是__________. 9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。 10．求方程的实数解。 11．求证： 五、联赛一试水平训练题 1．在△ABC中，b2=ac，那么sinB+cosB的取值范围是____________. 2．在△ABC中，假设，那么△ABC 的形状为____________. 3．对任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，那么T的最大值为____________. 4．在△ABC中，的最大值为____________. 5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，那么S2+T2的取值范围是____________. 6．在△ABC中，AC=BC，，O为△ABC的一点，，ABO=300，那么ACO=____________. 7．在△ABC中，A≥B≥C≥，那么乘积的最大值为____________，最小值为__________. 8．在△ABC中，假设c-a等于AC边上的高h，那么=____________. 9．如下列图，M，N分别是△ABC外接圆的弧，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。 10．如下列图，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。 11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。 六、联赛二试水平训练题 1．等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：，此处=B。 2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。 3．△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：，此处(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。 4．凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。 5．等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。 6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。 7．一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？ 8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：假设AC与BD交于点Q，那么 9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。