2023年用构造法求数列的通项公式.doc

用“构造法〞求数列的通项公式 北大附中新疆分校教师 董金臣 【引：此论文荣获2023年昌吉州民办教育教学论文评选二等奖】 数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法倍受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容，作为常规的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列，之后再应用各自的的通项公式求解。 例1:数列 的通项公式；〔06年福建高考22题〕 解： 又 是首项为2公比为2的等比数列 。 归纳总结：假设数列满足为常数〕，那么令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。 例2：数列中，，那么 。 解： 为首项为2公比也为2的等比数列。 ， 小结：先构造等比数列，这是化归思想的具体应用，再用叠加法求出通项公式，当然此题也利用了等比数列求和公式。 例3：数列中对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？〔必修5教材69页〕 解： 又形成首项为7，公比为3的等比数列， 那么………………………① 又， ，形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列 那么………………………② ①② 小结：此题是两次构造等比数列，属于构造方面比拟级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。 例4：设数列的前项和为成立，求证：当是等比数列。〔2023四川省高考题〕 证明：当 又………………………① ………………………② ②—① 当时，有 又 为首项为1，公比为2的等比数列， 小结：此题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，此题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。 例5：数列满足，那么 A． B． C． D． 解： 构成了一个首项这，公差为3的等差数列， 所以选B。 小结：构造等比数列，注意形，当时，变为。 例6：函数，又数列中，其前项和为，对所有大于1的自然数都有，求数列的通项公式。 解： 是首项为，公差为的等差数列。 。 时， 且当时， 符合条件 通项公式为 例7：，点〔〕在函数的图象上，其中证明数列是等比数列。〔2023山东高考题22题〕 解： 又在函数图象上 是首项为公比为2的等比数列 小结：前一个题构造出为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。 例8：数列满足，〔〕其中，求数列的通项公式。(2023天津高考题) 方法指导：将条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。 解： 。 所以 所以为等差数列，其首项为0，公差为1； 例9：数列中，假设，，那么 〔 〕 A． B． C． D． 解： 又是首项为公差3的等差数列。 所以选A 变式题型：数列中，，求 解： 是首项为公比为的等比数列 小结:且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。 总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的形成是在探索中前进，在前进中探索。