2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品3高中数学.docx

考纲导读 第三章立体几何初步 1．理解平面的根本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系． 2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系． 3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理． 4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理． 5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念． 6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图． 7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的外表积、体积公式． 知识网络 直线、平面、简单几何体 三个公理、三个推论 平面 平行直线 异面直线 相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直线 概念、判定与性质 三垂线定理 垂直 斜交 直线与平面所成的角 空间直线 与平面 空间两个平面 棱柱 棱锥 球 两个平面平行 两个平面相交 距离 两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质 二面角 定义及有关概念 性质 综合应用 多面体 面积公式 体积公式 正多面体 高考导航 本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个根本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距． 其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙． 再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果． 第1课时 平面的根本性质 根底过关 公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)． 公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)． 公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面． 推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面． 典型例题 C O D A B M B1 C1 D1 A1 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M． 求证：点C1、O、M共线． 证明： A1A∥CC1确定平面A1C A1C面A1C O∈面A1C O∈A1C 面BC1D∩直线A1C＝O O∈面BC1D O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上 ∴C1、O、M共线 变式训练1：空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行． 提示：反证法． 例2. 直线与三条平行线a、b、c都相交．求证：与a、b、c共面． 证明：设a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝C a∥b a、b确定平面α lβ A∈a, B∈b b∥cb、c确定平面β 同理可证lβ 所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 cα a、b、c、l共面 R P Q α C B A 变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线． 证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l， 即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上． ∴P、Q、R共线，共线于直线l． 例3. 假设△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内； (2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上． O C1 B1 A1 A B C 证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内 同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内 (2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，那么只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可． 变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， A B E C D F A1 B1 C1 D1 求证：(1) E、C．D1、F四点共面； (2) CE、D1F、DA三线共点． 证明(1) 连结A1B 那么EF∥A1B A1B∥D1C ∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C四点共面 (2) 面D1A∩面CA＝DA ∴EF∥D1C 且EF＝D1C ∴D1F与CE相交 又D1F面D1A，CE面AC ∴D1F与CE的交点必在DA上 ∴CE、D1F、DA三线共点． 例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内． 证明：(1) 假设a、b、c三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面α 又a∩d＝A ∴点A∈α ∴直线aα 同理可证：b、cα ∴a、b、c、d共面 (2)假设a、b、c、d两两相交但不过同一点 ∵a∩b＝Q ∴a与b可确定一个平面β 又c∩b＝E ∴E∈β 同理c∩a＝F ∴F∈β ∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴cβ 同理可证：dβ 故a、b、c、d共面 由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面 变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么 解：假设AC、BD不异面，那么它们都在某个平面内，那么A、B、C、D.由公理1知,.这与AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。 小结归纳 1．证明假设干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面． 2．证明点、线共面问题有两种根本方法：①先假定局部点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用局部点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． 3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点． 根底过关 第2课时 空间直线 根底过关 1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ． 2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， 异面直线：不同在任 平面，没有公共点． 3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ． 4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ． 5．异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线) 6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离． 典型例题 例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点． (1) 求证：EF是AB和CD的公垂线； A E B C F D (2) 求AB和CD间的距离． 证明：(1) 连结CE、DE AB⊥面CDE ∴AB⊥EF 同理CD⊥EF ∴EF是AB和CD的公垂线 (2) △ECD中，EC＝＝ED ∴EF＝ 变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小． 解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1 B M A N C S ∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。 例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角． 证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 那么QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝ ∴COS∠QNB＝ ∴∠QNB＝arc cos 变式训练2：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点． (1) 求异面直线SC和AB的距离； (2) 求异面直线SA和EF所成角． 答案：(1) (2) 45° P C1 D1 M B1 A1 D N C B A 例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P 分别为A1B1、BB1、CC1的中点． (1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角； (2) 判断D1P与AM是否为异面直线？假设是，求其距离． 解：(1) D1P与AM成90°的角 CN与AM所成角为arc cos. (2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点， 假设BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角． A C B N M A1 C1 B1 解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角． 设：BC＝CA＝CC1＝2，那么AG＝AN＝，GN＝B1M＝， C D B E F A M P cos∠GNA＝。 例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底 面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF． (1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； (2) 假设PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值． 〔1〕证明：∵EF∥CD AM∥CD ∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形 ∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD ∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线． (2) 设AB＝1，那么PA＝3，建立如以下列图坐标系．由得＝(0，，)， ＝(1，0，0) 面MFEA的法向量为＝(0，1，－3)，＝(1，1，0)，cos<，>＝．∴ AC与面EAM所成的角为－arc cos，其正弦值为． 变式训练4：如图，在正方体中， E、F分别是、CD的中点． 〔１〕证明； 〔２〕求与所成的角。 〔1〕证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1 又DF1DC1，所以AD⊥D1F. 〔2〕取AB