2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版42.docx

2023年全国高中数学联赛试卷 (2023年10月16日上午8∶00－9∶40) 一、选择题： 1．使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是 ( ) A．－ B． C．+ D． 2．空间四点A、B、C、D满足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9．那么·的取值( ) A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，那么的值为 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面α与对角线AC¢垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，那么 ( ) A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值 5．方程+＝1表示的曲线是 ( ) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 6．记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++| ai∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，那么第2023个数是 ( ) A．+++ B．+++ C．+++ D．+++ 二、填空题： 7．将关于x 的多项式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19 +x20表为关于y的多项式g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，那么a0+a1+…+a20＝ ； 8．f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，假设f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，那么a的取值范围是 ； 9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，假设对于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，那么γ－α＝ ； 10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45°，AD+BC+＝3，那么CD＝ ； 11．假设正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，那么该正方形面积的最小值为 ； 12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“桔祥数〞．将所有“桔祥数〞从小到大排成一列a1，a2，a3，…，假设an＝2023，那么a5n＝ ． 三、解答题： 13．数列{an}满足a0＝1，an+1＝，n∈N， 证明：⑴ 对任意n∈N，an为正整数； ⑵ 对任意n∈N，anan+1－1为完全平方数． 14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S，求使S到达最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，那么认为是相同的放法) 15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足＝λ1；点F在线段BC上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程． 加试卷 一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F． 证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心． 二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx+ay＝c．求函数f(x，y，z)＝++的最小值． 三、对每个正整数n，定义函数f(n)＝(其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}＝x－[x])．试求f(k)的值． 呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！ 2023年全国高中数学联赛试卷 (2023年10月16日上午8∶00－9∶40) 一、选择题： 1．使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是 ( ) A．－ B． C．+ D． 选D． 解：3≤x≤6，令＝sinα(0≤α≤)，那么x＝3+3sin2α，＝cosα． 故≥(sinα+cosα)≥．应选D． 2．空间四点A、B、C、D满足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9．那么·的取值( ) A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 选A． 解：+++＝． DA2＝2＝(++)2＝AB2+BC2+CD2+2(·+·+·) ＝AB2+BC2+CD2+2(·+·－2)，(其中+＝，＝－) ＝AB2+BC2+CD2－2BC2+2(·)． 故2·＝DA2+BC2－AB2－CD2＝92+72－32－112＝0Þ·＝0．选A． 3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，那么的值为 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 选A． 解：AA1·cos＝2sin(B+)cos＝sin(A+B)+sinB＝sinC+sinB． AA1·cos+BB1·cos+CC1·cos＝2(sinA+sinB+sinC)．故原式＝2．选A． 4．如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面α与对角线AC¢垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，那么 ( ) A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值 选B． 解：设截面在底面内的射影为EFBGHD，设AB＝1，AE＝x(0≤x≤)，那么 l＝3[x+(1－x)]＝3为定值； 而S＝[1－x2－(1－x)2]secθ＝(－x－x2)secθ(θ为平面α与底面的所成角)不为定值．应选B． 5．方程+＝1表示的曲线是 ( ) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 选C． 解：由于+＞πÞ＞－＞－＞0Þcos(－)＜cos(－)Þsin－sin＞0； 又，0＜＜c＜πÞcos－cos＞0，Þ曲线为椭圆． sin－sin－(cos－cos)＝[sin(－)－sin(－)]．而0＜－＜－＜Þ sin－sin＜cos－cosÞ焦点在y轴上．应选C． 6．记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++| ai∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，那么第2023个数是 ( ) A．+++ B．+++ C．+++ D．+++ 选C． 解：M＝{(a1×73+a2×72+a3×7+a4)| ai∈T，i＝1，2，3，4}，a1×73+a2×72+a3×7+a4可以看成是7进制数，(a1a2a3a4)7，其最大的数为(6666)7＝74－1＝2400． 从而从大到小排列的第2023个数是2400－2022＝396，即从1起从小到大排的第396个数， 396＝73+72+4Þ(1104)7，故原数为+++．应选C． 二、填空题： 7．将关于x 的多项式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19 +x20表为关于y的多项式g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，那么a0+a1+…+a20＝ ； 填 解：f(x)＝a0+a1(x－4)2+a2(x－4)2+…+a20(x－4)20．令x＝5得f(5)＝1－5+52－53+…－519+520＝＝＝a0+a1+…+a20． 8．f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，假设f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，那么a的取值范围是 ； 填(0，)∪(1，5)． 解：Þa∈(－∞，)∪(1，+∞)． 2a2+a+1＞3a2－4a+1Þa2－5a＜0Þ0＜a＜5． 故所求取值范围为(0，)∪(1，5)． 9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，假设对于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，那么γ－α＝ ； 填π． 解：由f(x)≡0，得f(－α)＝f(－β)＝f(－γ)＝0： cos (β－α)+cos(γ－α)＝cos(β－α)+cos(γ－β)＝cos(γ－α)+cos(γ－β)＝－1． 故cos(β－α)＝cos(γ－β)＝cos(γ－α)＝－， 由于0＜α＜β＜γ＜2π，故β－α，γ－β，γ－α∈{π，π}．从而γ－α＝π． 10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45°，AD+BC+＝3，那么CD＝ ； 填． 解：V＝×AC×BCsin45°×h≤AC×BC×ADsin45°． 即AC×BC×ADsin45°≥1Þ×BC×AD≥1． 而3＝AD+BC+≥3＝3，等号当且仅当AD＝BC＝＝1时成立， 故AC＝，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．ÞCD＝． 11．假设正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，那么该正方形面积的最小值为 ； 填80． 解：设正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在直线上． 设直线AB方程为y＝2x+b， ⑴ 求AB交抛物线y＝x2的弦长：以y＝2x+b代入y＝x2，得 x2－2x－b＝0． △＝4+4bÞl＝2． ⑵ 两直线的距离＝． ⑶ 由ABCD为正方形得，2＝Þ100(b+1)＝b2+34b+289Þb2－66b+189＝0． 解得b＝3，b＝63． 正方形边长＝4或16Þ正方形面积最小值＝80． 12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“桔祥数〞．将所有“桔祥数〞从小到大排成一列a1，a2，a3，…，假设an＝2023，那么a5n＝ ． 填52022． 解：一位的桔祥数有7，共1个； 二位的桔祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个； 三位的桔祥数为x1+x2