2023年贝塞尔函数及其应用.docx

天道酬勤 贝塞尔函数及其应用 题目：贝塞尔函数及其应用 摘 要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用别离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二局部主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。最后一局部介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式 目 录 一、 起源 1 〔一〕贝塞尔函数的提出 1 〔二〕贝塞尔方程的引出 1 二、 贝塞尔函数的根本概念 4 〔一〕贝塞尔函数的定义 4 1. 第一类贝塞尔函数 5 2. 第二类贝塞尔函数 7 3. 第三类贝塞尔函数 10 4. 虚宗量的贝塞尔函数 10 〔二〕贝塞尔函数的递推公式 11 〔三〕半奇数阶贝塞尔函数 13 〔四〕贝塞尔函数的零点 14 〔五〕贝塞尔函数的振荡特性 16 三、 Fourier-Bessel级数 16 〔一〕傅里叶-贝塞尔级数的定义 16 〔二〕将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 17 四、 贝塞尔函数的应用 24 〔一〕贝塞尔函数在光学中的应用 24 〔二〕贝塞尔函数在调频制中的应用 26 附录 30 一、 起源 〔一〕贝塞尔函数的提出 随着科学技术的开展，数学的应用更为广泛。在许多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的根本规律。它的重要性，早在18世纪初就被人们认识。在1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程。以后，伯努利从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。在此根底上，傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。同时欧拉和拉格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中，导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。而这其中，18世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出的贝塞尔函数的几个正数阶特例引起了数学界得兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要奉献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 。 贝塞尔函数是一类特殊函数的总称，贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用别离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的〔在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，其中最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形〔或环形〕薄膜的振动模态分析问题等。 〔二〕贝塞尔方程的引出 有圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为0，且初始温度分布，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 设圆形薄盘的半径为R，这个问题可以归结为求解以下问题：应用别离变量法求这个问题的解，为此令 为第一个方程的非零解，代入该方程得 化简并引入参数得 由此我们得到下面关于函数T〔t〕和V(x,y)的方程 , (1-1) , (1-2) 由式(1-1)得 方程(1-2)称为Helmholtz方程，为了求出这个方程满足边界条件 的非零解，我们采用平面上的极坐标系，那么该定解问题转化为 (1-3) . (1-4) 再令，代入方程(1-3)得 , 引入参数 , 于是有 , (1-5) . (1-6) 由于温度函数是单值的，所以也必是单值函数，而与在极坐标系表示同一点，因此应该是以2为周期的函数，即，这就决定了，由此该方程(1-5)的解为 ， (为常数)， ， 将代入方程(1-6),得 , 这个方程称为n阶贝塞尔方程。由式(1-4)得 . 由于圆盘上的温度是有限的，特别在圆心处也应如此，于是，因此原定解问题的最后解决归结为求解以下问题：的特征值与特征函数。 假设令,并记，那么得 . (1-7) 上式是贝塞尔方程最常见的形式，它是一个具有变系数的二阶线性常微分方程，它的解称为贝塞尔函数。 二、 贝塞尔函数的根本概念 〔一〕贝塞尔函数的定义 定义满足本征方程 (2-1) 的函数为贝塞尔函数，为贝塞尔函数的阶。本征方程也可以表述为 在圆柱坐标系和球坐标系中解波动方程，用别离变量法都可得到径向函数满足的微分方程正好就是贝塞尔方程. 圆柱波径向方程 球波径向方程 令上式可写成 这是半奇数阶的贝塞尔方程。 方程(2-1)是在解决圆盘上温度分布的具体情况下得到的，因此方程中的常数一般取为整数或零。当和为任意实数或复数时，该方程也被称为贝塞尔方程，其解也叫做贝塞尔函数。 我们使用Frobenius方法求解贝塞尔方程。注意到n阶贝塞尔方程中与前得系数在x=0处为零，即该方程在x=0处退化。如果用x2除以方程的两边，那么y与前得系数在x=0处有奇性。正因为如此，在用幂级数方法求解方程(2-1)时，要设该方程的级数解为 (2-2) 其中为常数。下面来确定r和,为此将式(2-2)及 ， . 代入方程(2-1)中，得到关于x的恒等式 故有 (2-3) (2-4) (2-5) 由于c00,得r=n,或r=-n由〔2-4〕得c1=0; 1. 第一类贝塞尔函数 贝塞尔方程有如下形式的级数解，其中， 为任意实数， 展开系数有递推公式. 实际上将代入方程(2-1)得 . 比拟同次项的系数，得 , 即 . (i)取r=n，那么有 . 于是用表示的奇数项; 而偶数项都可用表示，即 . 因此级数解的一般项为 , 其中为任意常数，当取一定值，就得到贝塞尔方程的一个解〔由比值法知，级数解的收敛半径〕. 取常数，这样选取有两个好处：一是可使一般项系数中的次数与的次数相同；二是可以运用以下恒等式 使分母简化，从而使一般项的系数变成 , 由此得到的贝塞尔方程的级数解，此级数的和函数称为阶第一类贝塞尔函数，记为, (2-6) 为正整数或零时，, 因此为正整数时 . 显然，当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数。 (ii)当,同样可得贝塞尔方程的另一特解 (2-7) 对于上式应注意两点：1) 由于时，，对于的项，系数为0，于是 2) 比拟(2-6)与(2-7)两式可知，不管为何实数，总可以用(1.4.2)式统一地表示第一类贝塞尔函数。 2. 第二类贝塞尔函数 1) 当不为整数时，分析函数与在附近的性态〔设〕，可知与线性无关，因此贝塞尔方程的通解为 其中为任意常数. 当n为整数时，与线性相关，他们之间有关系式 . 事实上，我们不妨设为正整数〔这不失一般性，因为当为负整数时，会得到同样的结果〕，那么在式(2-6)中，当时，将为负整数或零，对于这些值为无穷大，所以 令，得 即与线性相关. 这时与已不能构成贝塞尔方程的通解了. 为了求出贝塞尔方程的通解，需要构造另一个与线性无关的解. 通常用线性组合与极限方法作出贝塞尔方程的另一个解〔记作〕. 2) 当不是整数时，令 ; 当为整数时，取 . 由上面两式所定义的函数阶第二类贝塞尔函数或称为诺依曼(Neumann)函数。它的级数表达式为 ， 其中；当时，去掉第二项有限和. 特别地，在的小邻域内有近似公式 , . 3) 不管n为何实数，与贝塞尔方程的另一个解线性无关，因为当x=0时，为有限值，而为无穷大，所以与线性无关。因此贝塞尔方程的通解可表示为 , 式中，为任意常数，为任意实数. 在一些定解问题中，是零或正整数，且相应的本征值问题带有自然边值条件：有界，因此，贝塞尔方程的通解不能取式，而应取式. 因为当时，，于是在中常取，即在条件下，贝塞尔方程的解为 其中为任意常数. 3. 第三类贝塞尔函数 用第一类和第二类贝塞尔函数可以定义复数型的第三类贝塞尔函数,也称为汉克尔(Hankel)函数: ， . 其中是虚数单位，为任何实数。由于它们是贝塞尔方程的两个线性无关解，因此，对任何实数，贝塞尔方程通解的另一表达式为 . 其中为任意常数. 当时，三类贝塞尔函数的渐近表达式为 ；; , . 4. 虚宗量的贝塞尔函数 圆柱形区域内，如果上下两底的边值条件是齐次的，侧面的边值条件是非齐次时会遇到如下的微分方程：令，即得到贝塞尔方程 . 故有解, 定义 为第一类虚宗量的贝塞尔函数， 为第二类虚宗量的贝塞尔函数。 〔二〕贝塞尔函数的递推公式 不同阶的贝塞尔函数之间存在一定的递推关系. 1) 第一组是微分公式：(2-8) . (2-9) 先讨论零阶与一阶的贝塞尔函数之间的关系. 由于 有 , . 从而 , 即 . 将乘以并求导数，得 即 . 以上结果可以推广，现将乘以并求导，得 . 当时，(2-8)式化为 ；当时，(2-9)式化为 . 由以上四式可得不定积分公式：， ， ， . 2) 第二组是高阶用低阶表示的递推公式：, (2-10) . (2-11) 这组公式由第一组公式推出：将(2-8)与(2-9)两式左端的导数求出来，经化简后相减相加即得。 又由(2-8)与(2-9)两式可以分别证明：， (2-12) ， (2-13) 其中记号表示运算 所有上述关于的递推公式对任何都成立。 〔三〕半奇数阶贝塞尔函数 第一类贝塞尔函数和诺依曼函数一般说来不是初等函数，但半奇数阶第一类贝塞尔函数的一个重要特点是，它可以用初等函数来表示。比方，我们计算 这里用到了公式 . 类似地，可证 一般地，利用递推公式(2-13)可证得是初等函数：(2-14) 利用(2-12)式可证得是初等函数：(2-15) 用归纳法可以分别由(2-14)式和(2-15)式证明的明显表达式：, 〔四〕贝塞尔函数的零点 贝塞尔函数的零点，就是方程的根，通常用表示阶贝塞尔函数的第个正零点〔从小到大依次编号〕。由的表达式知，当时，有零点，并且如果，那么，因此零点是关于原点对称地分布的。下面是有关零点分布的几个重要性质，它对求解定解问题是很重要的。 1) 有无穷多个正零点，且都是单重零点。设，，…是方程的正根，那么 . 当时， ， 并且函数系在区间上是完备系。 零点的渐进公式是 〔愈大愈精确〕。 2) 的零点于的零点是彼此相间分布的。即的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅存在一个的零点，反之亦然。 3) 的最小正零点小于的最小正零点，即。 4) 指标较大时，相邻两零点的距离近似于。 下表列出了到的前9个正根. n m 0 1 2 3 4 5 1 2.405 3.832 5.136 6.380 7.588 8.771 2 5.520 7.016 8.417 9.761 11.065 12.339 3 8.654 10.173 11.620 13.015 14.373 15.700 4 11.792 13.324 14.796 16.223 17.616 18.980 5 14.931 16.471 17.960 19.409 20.827 22.218 6 18.071 19.616 21.117 22.583 24.019 25.430 7 21.212 22.760 24.270 25.748 27.199 28.627 8 24.352 25.904 27.421 28.908 30.371 31.812 9 27.493 29.047 30.569 32.065 33.537 34.989 〔五〕贝塞尔函数的振荡特性 是一个衰减振荡函数，以以下图中画出了和在时的图像；时的图像可以分别根据和的对称性得到。