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空间解析几何 基本知识 一、向量 1、已知空间中任意两点和，则向量 2、已知向量、，则 （1）向量的模为 （2） （3） 3、向量的内积 （1） （2） 其中为向量的夹角，且 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积（遵循右手原则，且、） 5、（1） （2） 二、平面 1、平面的点法式方程 已知平面过点，且法向量为，则平面方程为 注意：法向量为垂直于平面 2、平面的一般方程，其中法向量为 3、（1）平面过原点 （2）平面与轴平行（与面垂直）法向量垂直于轴 （如果，则平面过轴） 平面与轴平行（与面垂直）法向量垂直于轴 （如果，则平面过轴） 平面与轴平行（与面垂直）法向量垂直于轴 （如果，则平面过轴） （3）平面与面平行法向量垂直于面 平面与面平行法向量垂直于面 平面与面平行法向量垂直于面 注意：法向量的表示 三、直线 1、直线的对称式方程 过点且方向向量为直线方程 注意：方向向量和直线平行 2、直线的一般方程，注意该直线为平面和的交线 3、直线的参数方程 4、（1）方向向量，直线垂直于轴 （2）方向向量，直线垂直于轴 （3）方向向量，直线垂直于轴 5、（1）方向向量，直线垂直于面 （2）方向向量，直线垂直于面 （3）方向向量，直线垂直于面 应用 一、柱面 1、设柱面的准线方程为，母线的方向向量，求柱面方程 方法：在准线上任取一点，则过点的母线为 又因为在准线上，故 （1） （2） 令 （3） 由（1）、（2）、（3）消去求出，再把代入求出关于的方程，则该方程为所求柱面方程 例1：柱面的准线为，而母线的方向为，求这柱面方程。 解：在柱面的准线上任取一点，则过点的母线为 即（1） 又因为在准线上，故（2），（3） 由（1）（2）（3）得 2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径 方法：在圆柱面上任取一点，过点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点，则为圆柱的半径 例2：已知圆柱面的轴为，点（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。 解：设圆柱面上任取一点，过点且垂直于轴的平面为 轴方程的参数式为代入平面方程得 故该平面和轴的交点为 过点（1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为 因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得 注意：也可找圆柱面的准线圆处理 例3：求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程 解：在圆柱面上任取一点，过点且垂直于轴的平面为 轴方程的参数式为代入平面方程得 故该平面和轴的交点为M1 则的长等于半径R=1 故利用距离公式得 即所求方程为 二、锥面 锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。 1、设锥面的准线为，顶点为，求锥面方程 方法：在准线上任取一点，则过点的母线为 （1） 又因为在准线上，故 （2） （2） 由（1）、（2）、（3）消去求出关于的方程，则该方程为所求锥面方程 例1锥面的顶点在原点，且准线为，求这锥面方程。 解：在准线上任取一点，则过点的母线为 又因为在准线上，故且 上面三个方程消去得 2、圆锥面 已知圆锥面的顶点，对称轴（或轴）的方向向量为，求圆锥面方程 方法：在母线上任取一点，则过该点的母线的方向向量为 利用和的夹角不变建立关于的方程，该方程为所求 例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（） 解：在坐标轴上取三点，则过三点的平面为 故对称轴的方向向量为，一条母线的方向向量为， 则母线和对称轴的夹角为，即 在母线上任取一点，则过该点的母线的方向向量为 所以 例3圆锥面的顶点为，轴垂直于平面，母线和轴成，求圆锥面方程 解：在母线上任取一点，轴的方向向量为，母线的方向向量为 则 即 三、旋转曲面 设旋转曲面的母线方程为，旋转轴为，求旋转曲面方程 方法：在母线上任取一点，所以过的纬圆方程 又因为在母线上，有 由上述四个方程消去的方程为旋转曲面 例4求直线绕直线：旋转一周所得的旋转曲面的方程。 解：在母线上任取一点，则过的纬圆方程 又因为在母线上，有 由上述方程消去的方程得 四、几种特殊的曲面方程 1、母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是平面上的曲线，则柱面方程为 设柱面的准线是平面上的曲线，则柱面方程为 设柱面的准线是平面上的曲线，则柱面方程为 注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母 （2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、抛物线柱面 例求柱面方程 （1）准线是，母线平行于轴 解：柱面方程为 （2）准线是，母线平行于轴 解：柱面方程为 （3）准线是，母线平行于轴 解： 2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面 设母线是，旋转轴是轴的旋转曲面为；旋转轴是轴的旋转曲面为 （同理可写出其它形式的旋转曲面方程） 注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。 例方程是什么曲面，它是由面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的 解：面上的绕轴旋转而成的 3、平行于坐标面的平面和曲面的交线方程 平行于面的平面和曲面的交线为 平行于面的平面和曲面的交线为 平行于面的平面和曲面的交线为 例求曲面和三个坐标面的交线 （1） 解：、、 （2） 解：注意在面上无交线 （3） 解：在面上交于一点 五、求投影