大学数学近世代数期末模拟试题训练与答案.docx

近世代数期末考试模拟试卷及答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A、2阶　　B、3 阶 C、4 阶 　D、 6 阶 2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A、偶数 　B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A、（N,）　 B、（Z,） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） 　D、 (P(A),) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------。 3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。 9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换，。 1．求和； 2．确定置换和的奇偶性。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。 2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。 近世代数模拟试题 参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、C；2、C；3、D；4、D；5、A； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。 2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例： 3、解： 1．，； 2．两个都是偶置换。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元 这就是说=R，证毕。 2、证 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。 近世代数模拟试题 一、单项选择题 1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A、2阶　　B、3 阶 C、4 阶 　D、 6 阶 2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A、偶数 　B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A、（N,）　 B、（Z,） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） 　D、 (P(A),) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------。 3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。 9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、 S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换，。 1．求和； 2． 确定置换和的奇偶性。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。 2、 M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。 近世代数模拟试题 参考答案 一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。 2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例： 3、解： 1．，； 2．两个都是偶置换。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元 这就是说=R，证毕。 2、证 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。