初中经典几何证明练习题集(含答案解析).doc

初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF． 证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE ∵EG⊥CO，EF⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E、G、O、F四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO∽△FHG ∴= ∵GH⊥AB，CD⊥AB ∴GH∥CD ∴ ∴ ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。 求证：△PBC是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA，AP=AP ∴△MAP≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD，MP=CP ∵∠PAD＝∠PDA＝15° ∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形 3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG ∵CN=DN，CG=DG ∴GN∥AD，GN=AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM，AG=CG ∴GM∥BC，GM=BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． 　（1）求证：AH＝2OM； 　（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二） 证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G ∵OG⊥AF ∴AG=FG ∵= ∴∠F=∠ACB 又AD⊥BC，BE⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF又AD⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD 又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD ∴四边形OMDG是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC，OM⊥BC ∴∠BOM=∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO 2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P. 求证：AP＝AQ． 证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF ∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90° 又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF ∵E、F、C、D四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF⊥AG，PQ⊥AG ∴EF∥PQ ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE ∴∠AFE=∠AEF 在△AEP和△AFQ中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP≌△AFQ ∴AP=AQ ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F、C、A、Q四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP 3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二） 证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG ∵C、D、B、E四点共圆 ∴∠B=∠D，∠E=∠C ∴△ABE∽△ADC ∴ ∴△ABG∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN， ∴OA⊥MN 又OG⊥BE， ∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O、A、Q、E四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP 又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ≌△OAP ∴AP=AQ 4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC 求证：BC=2OP（初二） 证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N ∵OF=OD，DN∥OP∥FL ∴PN=PL ∴OP是梯形DFLN的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL 又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM 同理△AMC≌△CND ∴CM=DN ∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP 经典题（三） 1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二） 证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC ∴ODEG是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG是矩形 ∴EG=OD=BD=AC=AE ∴∠EAG=30° ∵AC=AE ∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF 2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．（初二） 证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC，又EG⊥AC ∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15° 在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE =180°-135°-30°=15° ∴∠F=∠CEA ∴AE=AF ∴BD∥EG又DE∥AC ∴ODEG是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG是矩形 ∴EG = OD =BD=AC=CE ∴∠GCE=30° ∵AC=EC 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二） 证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H ∵CD⊥CG ∴HCGF是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF是正方形 设AB=x，BP=y，CG=z z：y=（x-y+z）：x 化简得（x-y）·y=（x-y）·z ∵x-y≠0 ∴y=z 即BP=FG ∴△ABP≌△PGF ∴CG=GF ∵AP⊥FP ∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 又∠FGP=∠PBA ∴△FGP∽△PBA ∴FG：PB=PG：AB 4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D． 求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三） 证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H， 连接OH、MH、EC ∵EH=FH ∴EM=KM ∵EK∥BD ∴ ∴OB=OD 又AO=CO ∴四边形ABCD的对角线互相平分 ∴ABCD是平行四边形 ∴AB=DC，BC=AD ∴OH⊥EF，∴∠PHO=90° 又PC⊥OC，∴∠POC=90° ∴P、C、H、O四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO 又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H、C、E、M四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM∥AC ∵EH=FH 经典题(四) 1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求∠APB的度数．（初二） 解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ 则△BPQ是正三角形 ∴∠BQP=60°，PQ=PB=3 在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC是直角三角形 ∴∠PQC=90° ∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150° 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） 证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线， 两平行线相交于点E，连接BE ∵PE∥AD，AE∥PD ∴ADPE是平行四边形 ∴PE=AD， 又ABCD是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC 又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A、E、B、P四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB 又PE∥AD，AD∥BC ∴PE∥BC ∴BCPE是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP 3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三） 证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD ∵=∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC∽△ADC ∴ ∴AD·BC=BE·AC……………………① ∵∠BCE=∠ACD ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD ①+②得AB·CD+ AD·BC =DE·AC+ BE·AC =（DE+BE）·AC =BD·AC ∵=,∴∠BAC=∠BDC △BAC∽△EDC ∴ ∴AB·CD=DE·AC……………………② 4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 P AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） 证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE ∴S△ADE=AE·DG，S△FDC=FC·DH 又S△ADE= S△FDC=S□ABCD ∴AE·DG=FC·DH 又AE=CF ∴DG=DH ∴点D在∠APC的角平分线上 ∴∠DPA＝∠DPC 经典题（五） 1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：≤L＜2． 证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE， ∵BP=BE，∠PBE=60° ∴△PBE是正三角形。 ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF 当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图） 在△ABF中，∠ABP=120°∴AF= ∴L=PA+PB+PC≤ （2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G 则△ADG是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP，AG=DG ∵∠APD＞∠AGP ∴∠APD＞∠ADP