《线性代数》课后习题答案.doc

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明是数域。 因为，所以中至少含有两个复数。 任给两个复数，我们有 。 因为是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 。 如果，则必有不同时为零，从而。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 。 综上所述，我们有是数域。 （2）类似可证明是数域，这儿是一个素数。 （3）下面证明：若为互异素数，则。 （反证法）如果，则，从而有 。 由于上式左端是有理数，而是无理数，所以必有。 所以有或。 如果，则，这与是互异素数矛盾。 如果，则有，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有。 同样可得。 （4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在和之间存在无穷多个不同的数域。 2. 解：（1）是数域，证明略（与上面类似）。 （2）就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而复数域。 （3）不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如。 3. 证明：（1）因为都是数域，所以，从而。故含有两个以上的复数。 任给三个数，则有且。因为是数域，所以有且。所以。 所以是数域。 （2）一般不是数域。例如，我们有，但是。 习题1.2 2. 解：项的符号为 习题1.3 1．证明：根据行列式的定义= =0。 所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的阶排列，故可以得到全体阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。 2．解 (1) =； （2）； （3） ； （4） =。 （5） 。 3．解：（1）。 （2）左端 ==右端。 （3） 。 （4）原式（先依次）=。。。=。 （5）原式（先依次）=。。。=。 4．解：设展开后的正项个数为。则由行列式的定义有。又因为 （利用）（下三角行列式）。所以有。 5．证明：（1）左端 =右端。 （2）利用性质5展开。 6．解：（3）与上面3（3）类似可得。 7．解：利用行列式的初等变换及性质5。 8．解： 。 9．证明：设原行列式=D。则对D进行依次如下变换后所得的行列式D′第一列由题设中所给的5个数字构成。从而由行列式的定义可知D′可被23整除。又由行列式的性质知D′。因为23是素数，且不可能被23整除，所以D可以被23整除。 习题1.4 1．解：(1) =； (2) =； (3)方法一 + =； 方法二 逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。 (4)逐次按第2行展开 == =； (5) ==； (6) == ； （7）换行后可得到范德蒙行列式； （8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。 2．解：(1) + =； (2) =1+；（此处有笔误） (3) =， 据此当时，原式=；当时，原式=。 3．解：（1）将按第n 列展开得: =+ =。 （2）略（参考课本例中的叙述）。 4．解：（1）交换行、列后得到三角块行列式，然后利用例1.4.6的结果；或者直接利用Laplace定理。 （2）左端先做变换，再做变换，然后利用P30推论。 5．解：（1） ==； （2）=； （3）利用初等变换。 附加：P30推论的证明： 证 (1) 将第r+1列与r列交换, 由将新的r列与r-1列交换, 如此继续, 直到将第r+1列交换到第1列, 这样共交换r次; 再将第r+2列如上方法交换至第2列, 也交换了r次, 如此继续直到将r+s列交换至第s列. 于是交换了rs次后得到 = 将所得行列式的第r+1行依次与第r行, r-1行, ……, 第1行交换. 交换r 次后, r+1行交换至第1行. 类似地交换r次后将r+2行交换至第2行, ……, 交换r次后将第r+s行交换至第s行, 于是交换rs次后得: (2), (3) 思路与(1)类似, 证明过程略去。 习题1.5 2．解：计算得 = 根据克拉默法则, 当时, 即时, 原方程组只有零解。 习题1.6 1．证明：方法一 归化 ==右端. 方法二 归纳法 当时, = 结论成立. 假设时结论成立, 即有 则当时, 将 的第n列看成1+0,1+0,……,1+, 故可表示为2个行列式之和, 而第2个行列式按第n列展开可算出为从而 =+ 而=. 所以=+=+ ==右端. 方法三 递推 由证明(二)可知与存在以下递推关系:=+ 所以=+=== =右端. 方法四 加边法 = ==右端。 2．证明：（1）注意当把行列式按第n列展开时，得到的递推公式中有三项，故归纳法第一步应验证n=1，2时均成立。而归纳法第二步应假设当时成立，去证明当n=k时成立。 3．解：（2）先把除第一列外的所有列都加到第一列，然后提出第一列的公因子；再依次；然后按第一列展开，再依次；最后按最后一列展开。 4．解：通过倍加行变换易知f(x)的次数最大为1；又因为如果全取零，则有f(x)=0。所以选(D)。 5．看自己或别人的作业。 6．解：方法一：利用课本中例1.4.3的方法。 方法二：设。则有f(x)中的系数为。又因为 （范德蒙行列式），所以f(x)中的系数为。。。 所以可得。 第二章 线性方程组 习题2.1 2．证明. 因,说明不全为零,故当某个,通过适当的行互换,可使得位于左上角,用来乘第一行,然后将其余行减去第一行的适当倍数,矩阵A可以化为:,由于,此时必有,故可以对重复对A的讨论, 此时A可经初等行变换化为, 然后再将第行的倍加到第行(),再将第行的倍加到第行(),这样继续下去,一直到将第2行的倍加到第1行,此时A就化为, 故所证结论成立。 3．证明：以行互换为例: 列互换可以同样证明. 若 , 这相当于A中交换第i行和第j行, 所以结论成立。 习题2.2 1． 解：中一定存在不为零的阶子式,否则秩,与题设秩（）＝矛盾. 由秩（）＝知，中至少存在一个阶子式不为零, 这表明中的阶子式只要有一个不为零即可,其余可以等于零,也可以不等于零. 中一定不存在不为零的阶子式,否则的秩至少是, 这也与题设秩（）＝矛盾。 2． 提示：利用矩阵的行秩和向量的极大无关组证明。 3． 略。 4． 思路：可将矩阵写成一个列向量和一个行向量的乘积，从而由秩；进而因为矩阵不等于零，所以秩〉0。 5． 略。 习题2.3 略。 习题2.4 2．证明：(Ⅰ)的增广矩阵为=, 因为系数矩阵的秩不超过增广矩阵的秩, 所以有秩()秩(). 观察可知, 矩阵其实就是在增广矩阵下面加了一行, 所以秩()秩(). 由题意知, 秩()=秩(), 据此可得秩()秩(). 综上知秩()=秩(), 故(Ⅰ)有解。 3．解：将增广矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵. 当时, 秩()秩(), 所以线性方程组无解; 当时, 秩()=秩()<未知量个数, 所以线性方程组有无穷多解. 原方程组同解于 故通解为 其中为任意常数。 4．证明：该线性方程组的增广矩阵=, 由题意知秩()=. 但是系数矩阵是一个的矩阵, 所以秩()<秩(). 据此秩()秩(), 所以该线性方程组无解。 第三章 矩阵 习题3.1 4．解：（1） 由矩阵乘法运可得： ；。 （2）与D乘法可换的矩阵满足。故与的元素对应相等，利用（１）的结果，有，从而。由于（），可得：当时，，即为对角矩阵。 5．证明：（1）数学归纳法：当时，计算得，故结论成立． 假设当时，结论成立，即有， 则当时， ． 因所以， 即当时，结果成立．由归纳法原理知，对任意大于2得正整数有． （2）当时，结果显然成立．当时, 直接计算得. 假设当时，结果成立，即．我们要证明当时，结果也成立，即可完成证明． 第一种情况：k为奇数，则 ． 第二种情况：k为偶数，则 ． 综上： 即当时，结论成立． 6． 解：（1）先计算出时的结果。然后归纳出应该有，接下来用数学归纳法证明这一归纳出的结果。 当时，结论显然成立． 假设当时，结论成立，即． 则当时， 结论成立． 7．记住结论。 8．证明：因为与所有n阶方阵乘法可换，故与乘法可换, 利用第7题结果有 ，即 ．设，则 即为数量矩阵． 10．证明：设，，则 tr 同理可得 tr 由于 ，可得trtr． 11．证明：假如存在n阶方阵满足，则 trtrtr． 由于，可得trtr，这与10题所得结果矛盾． 所以假设不成立．即不存在n阶方阵，满足． 15．证明：因，都是对称矩阵, 故, 从而 为对称矩阵. 16．证明：设，则． 由的主对角线上元素为零 , 由为实数知 . 证法二：利用二次型。 习题3.2 4．思路：注意到矩阵多项式的运算和一般多项式的运算一样就可以了。 证明：计算, 由题意可知, 所以.根据定理3.2.1的推论可知可逆且其逆为. 5．证明：计算 = =  计算 据此,根据定理3.2.1的推论可知可逆且其逆为. 6．证明：因为所以有 . 由题意可知, 所以可在等式两边同乘上, 由此可得, 整理得,根据定理3.2.1的推论可知可逆且. 7．证明：(1) 由题意可得, 根据定理3.2.1的推论可知可逆并且. (2) 由题意可得, 而这个等式可化为, 即有, 同样根据定理3.2.1的推论可知可逆并且. 8．思路：注意题设实际上是给出了矩阵多项式。所以一般情况下，如果可逆，其逆矩阵也应该是一个矩阵多项式。所以我们可以假设其逆矩阵为（待定系数法），从而由逆矩阵定义知应该有，即。在注意到题设是，所以我们有，所以有，即。 证明：因为，所以。所以。。。 9．证明：(1); (2)由于, 所以, 由此可得 ; (3); (4); (5)由(2)中分析可知, 所以 ; (6) 由(2)中分析可知, 则。 10．证明：都可逆, 所以有, 由此可知, 从而得到. 另一方面, 由于都可逆且均为阶方阵, 所以也可逆, 所以有, 而. 综合上述可得. 11．略。 12．证明：假设是可逆矩阵, 那么在等式两边都左乘的逆矩阵可得, 这与题设中矛盾! 所以不可逆. 13．证明：根据题意可知存在非零的n×t矩阵B使AB=O, B是非零矩阵所以必存在某一列上的元素不全为零, 不妨设这一列为. 由于, 所以, 据此可知是线性方程组的一个非零解. 由于有非零解, 所以=0. 14．略。 15．解：(A) 可逆的充要条件是而不是, 设, 但不是可逆矩阵, 所以选项(A)是错误的. (B) 设