《高等几何》复习大纲、样题及答案全.doc

《高等几何》复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。 2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。 3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试内容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。 3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素 中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格（Desargues）定理 应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标 齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标 线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则 作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试内容 1.交比与调和比 交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形 完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。 3.一维基本形的射影对应 一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。。 4.二维射影变换 5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。 6.射影坐标 一维射影坐标、二维射影坐标。 7.一维、二维射影变换的不变元素 求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。 变换群与几何学 一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群论观点。 3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。 二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。 2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。 二次曲线的射影理论 一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。 2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。 4.了解二阶曲线的射影分类。 二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。 2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。 3.二阶曲线的射影分类。 二次曲线的仿射性质和度量性质 一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。 (一) 一、填空题（每题2分，共10分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： ； 2、线坐标（1，2，1）的直线的齐次方程为： ； 3、直线上的无穷远点坐标为： ； 4、设(AB,CD)= ，则点偶 调和分割点偶 ； 5、两个射影点列成透视的充要条件是 ； 二、作图题（每题6分，共6分） 1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。 三、计算题（每题10分，共30分） 1、 求仿射变换式使直线x＋2y－1＝0上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2） 2、 求射影变换的固定元素。 3、叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明。 四、证明题（每题12分，共24分） 1、叙述并证明布利安桑定理。 2、设（AB、CD）=-1，O为CD的中点，则OC2=OA·OB（此题为有向线段） 参考答案 一、填空题 1、平行四边形 2、 3、（2，-3，0） 4、 AC , BD 5、保持公共元素不变 二、作图题 1、每三点不共线的五个点，两两连线。 对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。 对偶图形 就是自己 三、计算题 1解 设所求仿射变换为在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得 ， 由以上方程联立解得：＝2 ，=2 ,=-1 , =- ,=-2 ,= 故所求的仿射变换为： 解 由题设的射影变换式，得 把它们代入射影变换的固定方程组6.5公式(2), 即 得 由此得特征方程为:=0, 即(1+u)(1-u)2=0解得u=1（二重根） ,u=—1 将u=—1代入固定点方程组，即得固定点为（1，0，0） 将u=1代入固定点方程组，得x1=0这是一固定点列即直线A2A3上的每一点都是固定点。把的值代入射影变换的固定直线方程组6。5公式（5），即得则特征方程为=0 即（1+v）(1-v)2=0,解得v=-1 v=1(二重根)。 将v=-1代入固定直线方程组，即得固定直线为（1，0，0）。 将v=1代入固定直线方程组，得u1=0,即通过点（1，0，0） 3、 见课本 四、证明题 1、见课本 2、证明 这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由（AB，CD）=-1，得=-1 即 AC·BD+AD·BC=0 （1） 把所有线段都以O点做原点来表达，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）=0 （2） 由（2）去括号，移项，分解因子，得2（OA·OB+OC·OD）=（OA+OB） （OC+OD） 2（OA·OB- OC2）=（OA+OB）·0 ∴ OA·OB-OC2=0即 OC2=OA·OB （二） 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设(1)，(-1)，()为共线三点，则 1 。 2、写出德萨格定理的对偶命题：如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。 3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=__2____。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群 5、 二次曲线的点坐标方程为，则其线坐标方程为是 二、 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( D ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形 2. 表示( C ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点 B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( B ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( B ) A.4类 B.5类 C.6类 D.8类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（ × ） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（ √） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标表示两个相异的点。（× ） 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（ √） 5. 配极变换是一种非奇线性对应。（ √） 四、作图题（8分） 已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据） 作法过程： 1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C, （2分） 2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分） 3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分） 根据：完全四点形的调和共轭性（2分） 五、证明题（10分） 如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS与QP的交点M在直线GH上。 在三点形BTS与三点形DQP中（4分） 对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分） 由德萨格定理的逆定理知，（2分） 对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上 六、计算题（42分） 1. （6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP) 解：设P点的坐标为（x0，yo） （分割比）， （2分） 且P在直线x+3y-6=0上， 解得λ=1， （2分） 即P是AB中点，且（ABP）=－1 2. （6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求 （1）l的齐次坐标方程； （2）l上无穷远点的坐标； （3）l上无穷远点的方程。 （1） （2分） （2）（1，1/2，0） （2分） （3） 3. (8分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？ 解：（i）由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）= （4分） (ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有，即3x2－7x=0， ∴当x=0及x=时两种坐标相等。 4. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。 设射影变换的方程为： （2分） 由题意知：a+, ,6a+3b+2c+d=0 得到： 故射影变换方程为： （4分） 二重元素满足： 得=7/3或=1 5. (6分)求由两个射影线束，，所构成的二阶曲线的方程。 解：由题意： （2分） 由上式得： （2分） 故所求方程即为 6. (8分) 试求二次曲线Γ：+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。 二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0， ∴二次曲