大学高等数学(下册)期末复习试题及答案.docx

大学高等数学(下册)期末复习试题及答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为． 2．直线与直线的夹角为． 3．设函数，则． 4．设级数收敛，则． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为 则它的傅里叶级数在处收敛于． 6．全微分方程的通解为　． 7．写出微分方程的特解的形式． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点且垂直于直线的平面方程． 解：设所求平面的法向量为，则 (4分) 所求平面方程为 (6分) 2．将积分化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面 　及所围成的区域． 解：　　 (3分) (6分) 3．计算二重积分，其中闭区域 解 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设，而，，求． 解： (3分) (6分) (7分) 2．函数由方程所确定，求． 解：令， (2分) 则　 　 (5分) 　　 ， ． (7分) 3．计算曲线积分，其中是在圆周上由到点的有向弧段． 解：添加有向辅助线段，有向辅助线段与有向弧段围成的闭区域记为，根据格林公式 (5分) (7分) 4．设曲线积分与路径无关，其中是连续可微函数且满足，求． 解： 由　得 ，　 即 (3分) 　　 所以 ， (6分) 　　 代入初始条件，解得，所以． (7分) 5．判断级数的敛散性． 解： 因为 (3分) (6分) 故该级数收敛． (7分) 四、（7分）计算曲面积分，其中是上半球 面的上侧． 解：添加辅助曲面，取下侧，则在由和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得 　 　　　　　　　　　　　　 　 (4分) 　　 (6分) 　　． (7分) 五、（6分）在半径为的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形． 解：设三角形各边所对圆心角分别为，则， 　 且面积为， 　 令 (3分) 由 (4分)得．此时，其边长为． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分) 六、（8分）求级数的收敛域，并求其和函数． 解： ，故收敛半径为． (2分) 当时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当时， 级数为调和级数，发散． 故原级数的收敛域为． (5分) 设和为，即，求导得 ， (6分) 再积分得 ， (8分) 七、（5分）设函数在正实轴上连续，且等式 对任何成立．如果，求． 解：等式两边对求偏导得 (2分) 上式对任何仍成立．令，且因，故有 ． (3分) 由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得 　即． 故通解为　．当时，，故． 因此所求的函数为 ． (5分) 八． （5分）已知，， 　是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无 　　关的解，是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 　　　　　　　　 　　将代入上式，得，因此所求的微分方程为 　　　　　　　 解2：由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无 　关的解，是非齐次方程的一个特解，故是所 　求微分方程的通解，从而有 　　　， 　　　 　消去，得所求的微分方程为