【数学】北京市各区二模试题分类解析(18)：空间几何体.doc

十八、空间几何体 第一部分 三视图 正视图 1 1 1、（2011朝阳二模理3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视 图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为 （ C ） （A） 8 （B） 4 （C） （D） 2、（2011昌平二模理1 2 1 正视图 俯视图 1 2 1 侧视图 4）．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的体积是 （C） A．πcm3 B．cm3 C．cm3 D．2π cm3 3、（2011东城二模理3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ B ） （A） （B） （C）　　 （D） 4、（2011西城二模文5）一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于(D) 1 正(主)视图 俯视图 2 2 2 侧(左)视图 2 1 （A）（B） （C） （D） 5（2011丰台二模理12）．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是12 ． 1 1 正视图 侧视图 2 0.6 2.4 俯视图 0.6 6、（2011海淀二模理6）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（C） 7、（2011顺义二模理12）.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则__________ 2__________. 8、1 2 1 正视图 俯视图 1 2 1 侧视图 （2011昌平二模文5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的体积是 （ C ） A．πcm3 B．cm3 C．cm3 D．2π cm3 9、（2011东城二模文4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为(A) 正视图 侧视图 俯视图 （A） （B） （C） （D） 正视图 1 1 9、（2011朝阳二模文5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱 的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为(C) （A） 8 （B） 4 （C） （D） 10、（2011丰台二模文13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 12 ． 1 1 正视图 侧视图 2 0.6 2.4 俯视图 0.6 11、（2011海淀二模文11） 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为__π+1________. 12、（2011顺义二模文12）如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则____2__. 第二部分平行垂直角度 1、（2011朝阳二模理7）已知棱长为1的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且．设与所成的角为，与所成的角为，则的最小值(C) （A）不存在 （B）等于60° （C）等于90° （D）等于120° 2、（2011昌平二模理8）. 正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是（A） A. 两个点 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆 3、 8. （2011海淀二模理8） 在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有 （C） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4、（2011顺义二模理3）.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（B） A 若，则 B 若，则 C 若，则 D 若，则 5、（2011海淀二模文7）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有(B) A．0条 B.1条 C. 2条 D.3条 6、（2011顺义二模文3）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是(B) A 若，则 B 若，则 C 若，则 D 若，则 5、（2011西城二模理4）.已知六棱锥的底面是正六边形， 平面.则下列结论不正确的是（ D） （A）平面 （B）平面 （C）平面 （D）平面 6、（2011昌平二模文8）如图是长度为定值的平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点P的轨迹是（ B ） A.圆 B.椭圆 C一条直线 D两条平行线 解答1、（2011朝阳二模理17）（本小题满分13分） 在长方形中，，，分别是，的中点（如图1）. 将此长方形沿对折，使二面角为直二面角，，分别是，的中点（如图2）. （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 图（1） 图（2） C1 BA CA A A1 B12A BA CA A DA EA A1 B12A C1 解法一： （Ⅰ）证明：取的中点，连接，. 因为，分别是，的中点， 所以是△的中位线. ………………1分 所以∥∥，且. 又因为是的中点， 所以. 所以∥，且. 所以四边形是平行四边形. 所以∥. ……………………………………3分 又平面，平面， 所以∥平面. ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为，且， 所以平面. 因为∥, 所以平面. 因为平面，所以. 又，且是的中点，所以. 因为，所以平面. ………………………6分 由（Ⅰ）知∥. 所以平面. ……………………………………7分 又因为平面， 所以平面平面. ……………………………………8分 （Ⅲ）解：由已知，将长方形沿对折后，二面角为直二面角， 因为在长方形中，，分别是，的中点， 所以，. 所以是二面角的平面角. 所以. 所以. 又，， 所以平面，即平面. …………………………10分 所以. 其中， 所以. ， 设点到平面的距离为， 所以，即. ………………………12分 设直线与平面所成角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………………13分 zA xA yA A A1 CA EA C1 DA BA B12A 解法二： （Ⅰ）证明：由已知，将长方形沿对折后，二面角为直二面角，因为在长方形中，，分别是，的中点， 所以，. 即是二面角的平面角. 所以. 所以. 所以两两垂直. 以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. ……………1分 因为，且，分别是，的中点， 所以，，，，. ………………………………………………………………2分 所以，. 设平面的法向量为， 所以 所以 令，则，. 所以. ……………………………3分 又因为. 所以. 又因为平面， 所以∥平面. ……………………………4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，，，，. 设平面的法向量为， 所以 所以 令，则，，所以. ……………………………6分 由（Ⅰ）知，平面的法向量为. 所以. 所以. 所以平面平面. ……………………………8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，，. 所以. 又由（Ⅰ）知，平面的法向量为. …………………10分 设直线与平面所成角为，则 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………13 2、（2011昌平二模理17）.(本小题满分13分) 如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。 （Ⅰ）求证： (Ⅱ) 求证： （III）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。 （Ⅰ） , 点E为的中点,连接。 的中位线 // ……2分 又 ……4分 （II） 正方形中, 由已知可得：， …….6分 , …….7分 …….8分 （Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ………9分 设 ……10分 设平面的法向量为 则 得 ……11分 取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 ……12分 要使二面角的大小为 而 解得： 当=时