《简明线性代数》---答案.doc

习 题 4.1 1．求下列矩阵的特征值和特征向量. （1）; 解: 方阵的特征多项式为 , 方阵的特征值为. 解方程组.由 , 得基础解系 ，. 因此,方阵对应于的全部特征向量为 (不同时为零). （2）. 解: 方阵的特征多项式为 , 方阵的特征值为,,. 当时,解方程组.由 , 得基础解系 . 因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零). 当时,解方程组.由 , 得基础解系 . 因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零). 当时,解方程组.由 , 得基础解系 . 因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零). 2．设,为的特征值.证明为 的特征值. 证明: 存在非零向量,使.于是 , , …………, , . 因此,为的特征值. 3．已知3阶矩阵的特征值为,求. 解: 记,则的特征值为 ,,. 于是 . 4．设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明 （1）为的特征值; （2）为的特征值. 证明: (1) 存在非零向量,使.于是 , 因此,为的特征值. (2) 因,而为的特征值,所以[由题2知]为的特征值. 5．已知3阶矩阵的特征值为,求. 解: 因矩阵的特征值为,所以 ,. 记,则的特征值为 ,,. 于是 . 6．设有四阶方阵满足条件,,,求方阵的伴随矩阵的一个特征值. 解: 因,故,可知的一个特征值为.由,得 . 因,所以.于是的一个特征值为. 7．已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量.试求常数. 解: 存在的特征值,使得.故有,即得 . 解此方程,求得或. 8．设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件. 解: 方阵的特征多项式为 , 方阵的特征值为,. 因有三个线性无关的特征向量,所以的几何重数等于代数重数,也即.因此.而 . 当且仅当时,,有三个线性无关的特征向量. 9．设矩阵可相似对角化,求. 解: 方阵的特征多项式为 , 方阵的特征值为,. 因可相似对角化,所以的几何重数等于代数重数,即 ,. 而 . 当且仅当时,,可相似对角化. 10．设三阶方阵的特征值为,对应的特征向量依次为 ,,, 求. 解: 记,则有.因此 ,. 注意是初等矩阵,知.于是 . 11．已知矩阵与相似. （1）求和; （2）求一个满足的可逆矩阵. 解: (1) 因矩阵与对角矩阵相似,故知矩阵的特征值为.由特征值的性质,我们有 ,. 于是得方程组 . 求得. (2) 当时,解方程组.由 , 得基础解系. 当时,解方程组.由 , 得基础解系. 当时,解方程组.由 , 得基础解系. 所以,满足的一个可逆矩阵为 . 12．设都是阶方阵,且,证明与相似. 证明: 因,故可逆.因为,所以与相似.