大学数学近世代数期末模拟考试与答案.doc

近世代数期末考试模拟试卷及答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-b　　B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ） A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群　　B、不一定是群　 C、一定是群 　D、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得。 8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。 10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。 2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？ 3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。 2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。 近世代数模拟试题 参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。 1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17 由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。 然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明 设e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。 若x¢∈G也是a*x＝b的解，则x¢＝e*x¢＝(a－1*a)*x¢＝a－1*(a*x¢)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。 2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。 当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。 近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设与都是非空集合，那么。 （ f ） 2、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ f ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ t ） 4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （t ） 5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。 （ f ） 6、群的子群是不变子群的充要条件为。 （ t ） 7、如果环的阶，那么的单位元。 （ t ） 8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。 （ t ） 9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 （ f ） 10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。 （ f ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（ 2 ） ①集合中两两都不相同；②的次序不能调换； ③中不同的元对应的象必不相同； ④一个元的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4 ①在整数集上，； ②在有理数集上，； ③在正实数集上，；④在集合上，。 3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ 4 ）3 ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ 4 ） ①0和； ②1和0； ③和； ④和。 5、设和都是群中的元素且，那么（ 2 ）1 ①； ②； ③； ④。 6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ 3 ）2 ①6； ②24； ③10； ④12。 7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4 ①的同态核是的不变子群； ②的不变子群的逆象是的不变子群；③的子群的象是的子群； ④的不变子群的象是的不变子群。 8、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（ 4 ）3 ①若是零元，则是零元； ②若是单位元，则是单位元； ③若不是零因子，则不是零因子；④若是不交换的，则不交换。 9、下列正确的命题是（ 4 ）1 ①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（1 ）4 ①； ②； ③； ④。 三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分） 1、设集合；，则有 。 2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则 a 。 3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么 0 。 4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。 6、给出一个5-循环置换，那么 。 7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为 x 。 8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是 一个最大理想 。 9、整环的一个元叫做一个素元，如果 、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子 。 10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果 。 四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分） 1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。 消去律成立 3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。 S=I或S=R 4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。 一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子 5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。 不都等于零的元 五、计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换 组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。 2、设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。 六、证明题（每小题10分，共40分） 1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。 2、设为实数集，，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。 3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。 4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。