《线性代数》同济大学版课后习题答案详解第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1);解=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1)=-24+8+16-4=-4.(2);解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).(4).解=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13×××(2n-1)24×××(2n);解逆序数为:32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)13×××(2n-1)(2n)(2n-2)×××2.解逆序数为n(n-1):32(1个)52,54(2个)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1个)42(1个)62,64(2个)××××××(2n)2,(2n)4,(2n)6,×××,(2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:(1);解.(2);解.(3);解.(4).解=abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:(1)=(a-b)3;证明=(a-b)3.(2);证明.(3);证明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.证明用数学归纳法证明.当n=2时,,命题成立.假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即Dn-1=xn-1+a1xn-2+×××+an-2x+an-1,则Dn按第一列展开,有=xDn-1+an=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得,,,证明,D3=D.证明因为D=det(aij),所以.同理可证..7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;解(按第n行展开)=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.(3);解根据第6题结果,有此行列式为范德蒙德行列式..(4);解(按第1行展开).再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2...
