大学数学近世代数期末模拟试题练习和答案.docx

近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设与都是非空集合，那么。 （ f ） 2、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ f ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ t ） 4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （t ） 5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。 （ f ） 6、群的子群是不变子群的充要条件为。 （ t ） 7、如果环的阶，那么的单位元。 （ t ） 8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。 （ t ） 9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 （ f ） 10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。 （ f ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（ 2 ） ①集合中两两都不相同；②的次序不能调换； ③中不同的元对应的象必不相同； ④一个元的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4 ①在整数集上，； ②在有理数集上，； ③在正实数集上，；④在集合上，。 3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ 4 ）3 ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ 4 ） ①0和； ②1和0； ③和； ④和。 5、设和都是群中的元素且，那么（ 2 ）1 ①； ②； ③； ④。 6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ 3 ）2 ①6； ②24； ③10； ④12。 7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4 ①的同态核是的不变子群； ②的不变子群的逆象是的不变子群；③的子群的象是的子群； ④的不变子群的象是的不变子群。 8、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（ 4 ）3 ①若是零元，则是零元； ②若是单位元，则是单位元； ③若不是零因子，则不是零因子；④若是不交换的，则不交换。 9、下列正确的命题是（ 4 ）1 ①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（1 ）4 ①； ②； ③； ④。 三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分） 1、设集合；，则有 。 2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则 a 。 3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么 0 。 4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。 6、给出一个5-循环置换，那么 。 7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为 x 。 8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是 一个最大理想 。 9、整环的一个元叫做一个素元，如果 、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子 。 10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果 。 四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分） 1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。 消去律成立 3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。 S=I或S=R 4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。 一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子 5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。 不都等于零的元 五、计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换 组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。 2、设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。 六、证明题（每小题10分，共40分） 1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。 2、设为实数集，，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。 3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。 4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代数试卷参考解答 一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 × × √ √ × √ √ √ × × 二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④ 三、填空题 1、。 2、。 3、。 4、。 5、变换群。 6、。 7、。 8、一个最大理想。 9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。 10、E的每一个元都是F上的一个代数元。 四、改错题 1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立 3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。 S=I或S=R 4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d′。 一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子 5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。 不都等于零的元 测验题 一、 填空题（42分） 1、设集合与分别有代数运算与，且，则当 满足结合律 时，也满足结合律；当 满足交换律 时，也满足交换律。 2、对群中任意元素= ； 3、设群G中元素a的阶是n，n|m则= e ； 4、设是任意一个循环群，若，则与 整数加群 同构；若， 则与 n次单位根群； 同构； 5、设G=为6阶循环群，则G的生成元有 ；； ；子群有 ； 6、n次对称群的阶是 n!; ；置换的阶是 4 ； 7、设，则 7、 ； 8、设，则 ； 9、设H是有限群G的一个子群，则|G|= |H|:(G:H) ； 10、任意一个群都同一个 双射）变换群； 同构。 二、证明题（24） 1.设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程。 1、已知，|a|=k,则 k|n 令n=kq,则 即G中每个元素都满足方程 1、 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。 2、 证明:如果群G中每个元素都满足方程，则G必为交换群。 三、解答题（34） 1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算作成群。 2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。 基础测试参考答案： 一、 填空题 1、满足结合律； 满足交换律； 2、； 3、e； 4、整数加群；n次单位根群； 5、；； 6、n!;4 7、 8、(456)(32) 9、|H|:(G:H) 10、（双射）变换群； 二、证明题 1、已知，|a|=k,则 k|n 令n=kq,则 即G中每个元素都满足方程 2、充要条件：； 证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交 设,则 H是G的子群，有 K是G的子群，有 综上所述，H也是G的子群。 3、证： G是交换群。 三、解答题 1、解：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素 （2）G中有元素e，它对G中每个元素 （3）对G中每个元素 则G对代数运算作成一个群。 对任意整数a,b，显然a+b+4由a,b唯一确定，故为G的代数运算。 （ab）c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a (bc)=a+b+c+8 即（ab）c= a (bc)满足结合律 a均有（-4）a=-4+a+4=a 故-4为G的左单位元。 （-8-a）a=-8-a+a+4=-4 故-8-a是a的左逆元。 2、解：其子群的阶数只能是1，2，3，6 1阶子群｛（1）｝ 2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶子群｛（1）（123）（132）｝ 6阶子群 左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H （12）H=｛（12）（123）｝=（123）H （13）H=｛（13）（132）｝=（132）H 右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23） H（13）=｛（13）（23）｝=H（123） H（12）=｛（12）（132）｝=H（132） 近世代数模拟试题 一、 单项选择题 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）