大学数学线性代数第二学期期末复习测试训练模拟试卷含答案.docx

线性代数第二学期期末测试试卷含答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 本题 得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将 所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分） 1. 行列式 的展开式中，的系数为 （ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2．设为n阶非零矩阵，且，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 3．向量组线性无关的充要条件是 （ ） (A) 向量组不含零向量 (B) 向量组中任意两个线性无关 (C) 向量不能由向量组 线性表出 (D)任一组不全为零的数，都使 4．已知四阶方阵有特征值0，1，2，3，则方程组的基础解系所含解向量个数为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5．n阶对称阵为正定矩阵的充分必要条件是 （ ） (A) (B) 等价于单位矩阵 (C) 的特征值都大于0 （D） 存在n阶矩阵，使 本题 得分 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 答题要求：将正确答案填写在横线上 1．三阶行列式的展开式中，前面的符号应是 。 2．设为中元的代数余子式，则 。 3．设n阶矩阵的秩，则的伴随矩阵的元素之和 。 4．三阶初等矩阵的伴随矩阵为 。 5．若非齐次线性方程组有唯一解，则其导出组解的情况是 。 6．若向量组线性相关，则向量组 的线性关系是 。 7．设矩阵的特征多项式为，则行列式 。 8．如果n阶方阵的各行元素之和均为2，则矩阵必有特征值 。 9．设为正交矩阵，则其逆矩阵 。 10．二次型的正惯性指数为 。 本题 得分 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤） 1．计算n阶行列式： 2.设, (1)用初等变换法求；（2）将表示为初等矩阵之积。 3．设，，且满足，求。 4．化二次型为标准形，并写出可逆的线性变换。 本题 得分 四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分） 答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应 写出文字说明或计算步骤） 1．当为何值时，方程组 有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。 2. 判别向量组能否由向量组， 线性表出，并求向量组的一个极大无关组。 3．设 求正交矩阵，使为对角矩阵，并写出相应的对角阵。 本题 得分 五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 答题要求：（请将答案写在指定位置上，并写清证明 过程） 1．设n阶方阵有不同的特征值，相应的特征向量分别是，证明：当全不为零时，线性组合不是的特征向量。 2. 设n维列向量组线性相关，为n阶方阵，证明：向量组 线性相关。 附：《线性代数》（A卷）答案要点及评分标准 一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1．B； 2．A； 3．D； 4．A； 5．C. 二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分） 1．负号； 2．1； 3．0； 4．或； 5．唯一解（或只有零解）； 6．线性相关； 7．-27； 8．2； 9．； 10．3. 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 1、解：按照第一行展开得到 ………8分 2、解： （1） ………2分 所以 ………5分 （2） ………8分 3、解：方法一：由, 得到， ……2分 ……5分 所以，可逆，=. ……8分 方法二：由, 得到， ……2分 用初等行变换求 ……6分 所以，可逆， =. ……8分 4、 = = ………6分 令 即可逆线性变换为 . ………8分 四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分） 1、解：由 方程组有无穷多组解，所以，故 ……4分 原方程组等价于方程组 取，得到特解 ……7分 令，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 ，， 方程组的全部解为 其中为任意常数 ……10分 2、解：初等行变换矩阵到行最简梯矩阵为 ……6分 可得到能由线性表示，且 向量组的一个极大无关组为 ……10分 3、解： ………4分 得到矩阵的全部特征值为 当时，由得一个基础解系 正交化,单位化， …7分 当时，由的一个基础解 将其单位化得 ………9分 则正交阵，， 相应的对角阵为 ……10分 五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 1、证明： 因为 而 所以 不是的特征向量. ………4分 2、证明：由线性相关，根据定义，存在不全为0的，使得，用矩阵左乘等号两边得到 不全为0，根据线性相关的定义 得到向量组线性相关. ………4分 线性代数第二学期期末测试试卷含答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 本题 得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将 所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分） 1.在展开式中，的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.是m×n矩阵，是m阶可逆矩阵，是m阶不可逆矩阵，且 ，则 （ ） (A) 的基础解系由n-m个向量组成 (B) 的基础解系由n-r个向量组成 (C) 的基础解系由n-m个向量组成 (D) 的基础解系由n-r个向量组成 3.设n阶矩阵有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量，则（ ） (A) (B) (C) (D) 不一定相似，但 4.设均为n阶矩阵，且，其中为n阶单位阵，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 5．设，则 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D）既不合同，又不相似 本题 得分 二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 答题要求：将正确答案填写在横线上 1．已知，则 。 2．设，若三阶矩阵满足则的第一行的行向量是 。 3．已知为n维单位列向量，为的转置，若 ，则 。 4．设分别是属于实对称矩阵的两个互异特征值的特征向量，则 。 5．设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，是齐次方程组的两个线性无关解，则 。 6．向量组的线性关系是 。 7．已知三阶非零矩阵的每一列都是方程组的解，则 。 8．已知三维向量空间的基底为，则向量在此基底下的坐标是 。 9．设 。 10．二次型的秩为 。 本题 得分 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤） 1．试求行列式的第四行元素的代数余子式之和. 2.设, 求. 3．设n阶方阵满足，已知，求矩阵. 4．设二次型中，二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12 .（1）求的值；（2）用配方法化该二次型为标准形. 本题 得分 四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分） 答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应 写出文字说明或计算步骤） 1．当为何值时，方程组 无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解. 2已知向量组， ，，，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示. 3．已知矩阵；判断能否对角化，若可对角化，求正交矩阵，使为对角矩阵，并写出相应