初二下期末几何压轴题及解析.doc

初二下期末几何及解析 1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G． （1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_____________； （2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明； （3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数． 难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。） 解 （1）EB=FD 。（2）EB=FD。 证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60° ∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD 即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD （3）解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60° ∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF 设∠AEB为x°，则∠ADF也为x° 于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）° ∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF =180°-（60-x）°-（60+x）°=60° 2、已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点， 连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形． 简单题 证明：（1）如图1．图1 在△ABE和△FCE中，∠1=∠2， ∠3=∠4，BE=CE， ∴△ABE≌△FCE． （2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC． ∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC． ∵AF=AD，∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形． 3、已知：△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来． 图4 图3 图2 图1 （2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为，则=___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3）， 图2 得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为，则=___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为；按照同样的方法继续操作下去……，第次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和=______________． （题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。） 本题相当于中考12题的简单题 解：（1）如图2； -------------1分 （2），，，． ----------6分 4、已知：如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在轴的正半轴上运动，顶点D在轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP． （1）当OA=OD时，点D的坐标为______________， ∠POA=__________°； （2）当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA； （3）设点P到y轴的距离为，则在点A，D运动的 过程中，的取值范围是________________． （第二问：如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OA＞OD时，求证：OP平分∠DOA；） 解：（1）()，； 图3 证明：（2）过点P作PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N．（如图3） ∵四边形ABCD是正方形， ∴PD=PA，∠DPA=90°． ∵PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N， ∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°． ∵∠NOM=90°，∴四边形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM． ∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2． 在△DPN和△APM中， ∠PND =∠PMA，∠1=∠2，PD=PA， ∴△DPN≌△APM． ∴PN=PM． ∴OP平分∠DOA． （3） ≤． - 5、已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的 顶点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA沿直线CA 翻折，得到△DCA，且DA交CB于点E． （1）求证：EC=EA； （2）求点E的坐标； （3）连接DB，请直接写出四边形DCAB的周长和面积． （第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE的长） （第三问的证明：过D做DM⊥AC于M，过B做BN⊥CA于N，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN（具体数）还看得DB=MN（具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。） 证明：（1）如图1．∵△OCA沿直线CA翻折得到△DCA， ∴△OCA≌△DCA． ∴∠1=∠2． ∵四边形OABC是矩形，∴OA∥CB． ∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA． 解：（2）设CE= AE=． ∵点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3），∴OA=4，OC=3． ∵四边形OABC是矩形，∴CB=OA=4，AB=OC=3，∠B=90°． 在Rt△EBA中，， ∴．解得 ． ∴点E的坐标为()． （3），． 6、已知：△ABC的两条高BD，CE交于点F，点M，N分别是AF，BC的中点，连接ED，MN． （1）在图1中证明MN垂直平分ED； （2）若∠EBD=∠DCE=45°（如图2），判断以M，E，N，D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论． 图2 第一问，连接EM，EN，DM，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD，NE=ND，所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。 （有△ADF≌△BDC，得AF=BC，（还得∠MDA=∠NDB，证直角时用），进而得菱形，再证一直角得正方形，） （1）证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图2） ∵BD，CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC，CE⊥AB． ∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°． ∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=AF． 同理，DM=AF，EN=BC，DN=BC． ∴EM=DM， EN=DN． ∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED． 图3 （2）判断：四边形MEND是正方形． 证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图3） ∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°， ∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC． 在△ADF和△BDC中， AD=BD， ∠ADF=∠BDC，（Rt∠） DF=DC， ∴△ADF≌△BDC． ∴AF=BC，∠1=∠2． ∵由（1）知DM=AF=AM，DN=BC=BN， ∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4． ∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN． ∴四边形MEND是菱形． ∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°． ∴四边形MEND是正方形． 7、（6分）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH。 （1）求证：∠APB＝∠BPH； （2）求证：AP＋HC＝PH； （3）当AP＝1时，求PH的长。 第一问，设∠EPB=∠EBP=m，则∠BPH=90°-m，∠PBC=90°-m，所以∠BPH=∠PBC，又因为∠APB=∠PBC，所以，∠APB=∠BPH。 第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24 放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把△ABP绕点B顺时针旋转90°不能到达目的，于是延BP翻折，翻折后的剩余部分△BQH与△BCH也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得∠PBH=45°。 第三问，代数方法的勾股定理。 （1）证明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP， 又∵∠EPH＝∠EBC＝90°， ∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。 又∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC。∴∠APB＝∠BPH。（2分） （2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q， 由（1）知，∠APB＝∠BPH， 又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP， ∴△ABP△QBP，∴AP＝QP，BA＝BQ。 又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。 又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH， ∴△BCH△BQH，∴CH＝QH，∴AP＋HC＝PH。（4分） （3）由（2）知，AP＝PQ＝1，∴PD＝3。 设QH＝HC＝，则DH＝。 在Rt△PDH中，， 即，解得，∴PH＝3.4（6分） 8、（6分）如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明。 （也可问∠ADG的度数。） 判断：△AGD是直角三角形。 证明：如图联结BD，取BD的中点H，联结HF、HE， ∵F是AD的中点，，∴∠1＝∠3。 同理，HE//CD，HE＝，∴∠2＝∠EFC。 ∵AB＝CD，　∴HF＝HE，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠EFC。 ∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°， ∴△AGF是等边三角形。 ∴AF＝FG ∵AF＝FD，　∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°， ∴∠AGD＝90°，即△AGD是（特殊）直角三角形。 （GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜边，这样证全等。） 10、阅读下列材料： 小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线， 点M为BC边上任意一点（不与点D重合），过点M作一直线，使其等分△ABC的面积． 他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN//AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线． D 图1 M B A N C 请你参考小明的做法，解决下列问题： （1）如图2，在四边形ABCD中，AE平分ABCD的面积，M为CD边上一点，过M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图2中画出直线MN，并保留作图痕迹）； 图3 图2 （2）如图3，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图3中画出直线AE，并保留作图痕迹）． （第二问，把△ABC的面积接到DC的延长线上。） 11、 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE． （1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明； （2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD、AC分别与AE、BF交于点G，点H． ①求证：OG＝OH； ②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长． A B C