大学数学近世代数期末模拟试题练习与答案.docx

近世代数期末考试模拟试卷及答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-b　　B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ） A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群　　B、不一定是群　 C、一定是群 　D、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得。 8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。 10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。 2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？ 3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。 2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。 近世代数模拟试题 参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。 1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17 由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。 然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明 设e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。 若x¢∈G也是a*x＝b的解，则x¢＝e*x¢＝(a－1*a)*x¢＝a－1*(a*x¢)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。 2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。 当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。 近世代数模拟试题 一、 单项选择题 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-b　　B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ） A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群　　B、不一定是群　 C、一定是群 　D、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得。 8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。 10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。 2、 设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？ 3、 a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。 2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。 近世代数模拟试题 参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。 1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17 由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。 然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明 设e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。 若x¢∈G也是a*x＝b的解，则x¢＝e*x¢＝(a－1*a)*x¢＝a－1*(a*x¢)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。 2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。 当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。