《线性代数》常见证明题型及常用思路.doc

《线性代数》常见证明题型及常用思路 二、证明题 题型1．关于线性相关性的证明中常用的结论 （1）设，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明必全为零，则线性无关；如果能得到不全为零的使得等式成立，则线性相关。 （2）线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 （3）如果，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 （4）如果我们有两个线性无关组，且是同一个线性空间的两个子空间，要证线性无关。这种情况下，有些时候我们设 。 根据题设条件往往能得到，进而由的线性无关得到系数全为零。 题型2. 关于欧氏空间常用结论 （1）内积的定义 （2）单位正交基的定义 （3）设是单位正交基， 。则5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩 （2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩 （4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式） 例：证明：。 证： 上面第二个等号是用左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得；第三个等号是用又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。 （6）利用齐次线性方程组解的结构（），此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。 （7）利用向量组的秩与维数 主要是两个结论：（i）矩阵的秩=列秩=行秩 （ii）的定义域 的维数 （8）利用行列式秩 （9）利用相抵标准形 题型4. 关于可逆矩阵常用结论 （1）结论：可逆有唯一解。 （2）结论：可逆可逆。 （3）结论：可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。 （4）结论：可逆当且仅当0不是它的特征值。 题型5. 关于矩阵对角化的常用结论 （1）结论： 相似于。 （2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。 （3）特征值与特征向量的定义 （4）结论：是的特征值。 （5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。 （6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第n-1次项的系数就是对角线上元素之和。 （7）结论：。 （8）结论：课本P242定理7.8。 （9）结论：课本P242推论。 （10）结论：课本P243定理7.10。 （11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。 题型6. 关于二次型的常用结论： （1）定义：二次型的矩阵。 （2）定义：相合关系。 （3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。 （4）定义：课本P263定义7.12与P269定义7.12 （5）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。 （6）结论：课本P264定理7.17、7.18、7.19 （7）结论：课本P269定义下面的内容 重要建议：最好把课本第七章内容全部记住！