大学数学线性代数第二学期期末测试训练模拟试卷含答案.docx

线性代数第二学期期末测试试卷含答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 本题 得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将 所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分） 1. 行列式 的展开式中，的系数为 （ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2．设为n阶非零矩阵，且，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 3．向量组线性无关的充要条件是 （ ） (A) 向量组不含零向量 (B) 向量组中任意两个线性无关 (C) 向量不能由向量组 线性表出 (D)任一组不全为零的数，都使 4．已知四阶方阵有特征值0，1，2，3，则方程组的基础解系所含解向量个数为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5．n阶对称阵为正定矩阵的充分必要条件是 （ ） (A) (B) 等价于单位矩阵 (C) 的特征值都大于0 （D） 存在n阶矩阵，使 本题 得分 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 答题要求：将正确答案填写在横线上 1．三阶行列式的展开式中，前面的符号应是 。 2．设为中元的代数余子式，则 。 3．设n阶矩阵的秩，则的伴随矩阵的元素之和 。 4．三阶初等矩阵的伴随矩阵为 。 5．若非齐次线性方程组有唯一解，则其导出组解的情况是 。 6．若向量组线性相关，则向量组 的线性关系是 。 7．设矩阵的特征多项式为，则行列式 。 8．如果n阶方阵的各行元素之和均为2，则矩阵必有特征值 。 9．设为正交矩阵，则其逆矩阵 。 10．二次型的正惯性指数为 。 本题 得分 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤） 1．计算n阶行列式： 2.设, (1)用初等变换法求；（2）将表示为初等矩阵之积。 3．设，，且满足，求。 4．化二次型为标准形，并写出可逆的线性变换。 本题 得分 四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分） 答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应 写出文字说明或计算步骤） 1．当为何值时，方程组 有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。 2. 判别向量组能否由向量组， 线性表出，并求向量组的一个极大无关组。 3．设 求正交矩阵，使为对角矩阵，并写出相应的对角阵。 本题 得分 五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 答题要求：（请将答案写在指定位置上，并写清证明 过程） 1．设n阶方阵有不同的特征值，相应的特征向量分别是，证明：当全不为零时，线性组合不是的特征向量。 2. 设n维列向量组线性相关，为n阶方阵，证明：向量组 线性相关。 附：《线性代数》（A卷）答案要点及评分标准 一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1．B； 2．A； 3．D； 4．A； 5．C. 二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分） 1．负号； 2．1； 3．0； 4．或； 5．唯一解（或只有零解）； 6．线性相关； 7．-27； 8．2； 9．； 10．3. 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 1、解：按照第一行展开得到 ………8分 2、解： （1） ………2分 所以 ………5分 （2） ………8分 3、解：方法一：由, 得到， ……2分 ……5分 所以，可逆，=. ……8分 方法二：由, 得到， ……2分 用初等行变换求 ……6分 所以，可逆， =. ……8分 4、 = = ………6分 令 即可逆线性变换为 . ………8分 四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分） 1、解：由 方程组有无穷多组解，所以，故 ……4分 原方程组等价于方程组 取，得到特解 ……7分 令，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 ，， 方程组的全部解为 其中为任意常数 ……10分 2、解：初等行变换矩阵到行最简梯矩阵为 ……6分 可得到能由线性表示，且 向量组的一个极大无关组为 ……10分 3、解： ………4分 得到矩阵的全部特征值为 当时，由得一个基础解系 正交化,单位化， …7分 当时，由的一个基础解 将其单位化得 ………9分 则正交阵，， 相应的对角阵为 ……10分 五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 1、证明： 因为 而 所以 不是的特征向量. ………4分 2、证明：由线性相关，根据定义，存在不全为0的，使得，用矩阵左乘等号两边得到 不全为0，根据线性相关的定义 得到向量组线性相关. ………4分 线性代数第二学期期末测试试卷含答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式，则等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 2. 设，是中元素的余子式，则=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设为阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) (B) (C) (D) 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是阶矩阵可逆的充要条件为（ ） (A) (B) 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) 的等价标准型为单位矩阵 6. 设为矩阵，为阶可逆矩阵，，则 ( )。 (A) 秩()> 秩() 　 (B) 秩()= 秩() (C) 秩()< 秩()　　 (D) 秩()与秩()的关系依而定 7. 如果向量可由向量组线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数，使得 成立 (B) 存在一组全为零的数，使得 成立 (C) 存在一组数，使得 成立 (D) 对的线性表达式唯一 8. 设是齐次线性方程组的解，是非齐次线性方程组的解，则（ ） (A) 为的解 (B) 为的解 (C) 为的解 (D) 为的解 9. 设,则的特征值是( )。 (A) (B) (C) (D) 10. 若阶方阵与某对角阵相似，则 ( )。 (A) (B) 有个互不相同的特征值 (C) 有个线性无关的特征向量 (D) 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设和为阶方阵，则有。（ ） 12. 当为奇数时，阶反对称矩阵是奇异矩阵。（ ） 13. 设为同阶方阵，，则。（ ） 14. 若矩阵有一个阶子式，且中有一个含有的阶子式等于零，则的秩等于。（ ） 15. 若非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解。（ ） 16 若向量组线性无关，则向量组线性无关。（ ） 17. 等价的向量组的秩相等。（ ） 18. 设与都是阶正交矩阵，则也是正交矩阵。（ ） 19. 矩阵不同特征值对应的特征向量必线性无关。（ ） 20. 两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等价。（ ） 第二部分 主观题（共70分） 题 号 得 分 三、填空题（共5小题，每小题2分，共10分） 1．在5阶行列式中，的符号是 2．若为3阶方阵，为的逆矩阵且，则 . 3.线性方程组 仅有零解的充要条件是 . 4.已知三阶矩阵的特征值为，则 . 5．实二次型，当＝ 时，其秩为2.。 题 号 得 分 四、计算题（一）（共3小题，每小题6分，共18分） 1. 计算4阶行列式 2. 已知向量组线性相关，求 3. 设，用施密特正交化法将该向量组正交化。 题 号 得 分 五、计算题（二