北京各区一模立体几何试题汇编与解析.doc

北京各区一模立体几何试题汇编与解析 （2012年东城一模立体几何） （14）如图，在边长为的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角到的位置 ，同时点沿着从点运动到点，，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切的最大值为 . 答案： （2012年东城一模立体几何）（17）（本小题共13分） 如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2） （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 图1 图2 （Ⅰ）证明：取中点，连结. 因为，， 所以，而，即△是正三角形. 又因为, 所以. …………2分 所以在图2中有，.…………3分 所以为二面角的平面角. 图1 又二面角为直二面角，　 所以. ………5分 又因为,　 所以⊥平面,即⊥平面. ………6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，. 在图１中，连结. 因为， 所以∥，且. 所以四边形为平行四边形. 所以∥，且. 故点的坐标为（1，，0）. 图2 所以， ，. ………8分 不妨设平面的法向量，则 即令，得.　 …………10分 所以. …………12分 故直线与平面所成角的大小为. …………13分 （2012年西城一模立体几何） 4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A） （B） （C） （D） 答案：A （2012年西城一模立体几何）17．（本小题满分14分） 如图，四边形与均为菱形， ，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：∥平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． （Ⅰ）证明：设与相交于点，连结． 因为 四边形为菱形，所以， 且为中点． ………………1分 又 ，所以 ． ………3分 因为 ， 所以 平面． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形， 所以//，//， 所以 平面//平面． ………………7分 又平面， 所以// 平面． ………………8分 （Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形． 因为为中点，所以，故平面． 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．………9分 设．因为四边形为菱形，，则，所以， ． 所以 ． 所以 ，． 设平面的法向量为，则有 所以 取，得．………………12分 易知平面的法向量为． ………………13分 由二面角是锐角，得 ． 所以二面角的余弦值为． ………………14分 （2012年海淀一模立体几何） （8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）6 答案：B （2012年海淀一模立体几何） (16)（本小题满分14分） 在四棱锥中，//，，，平面，. （Ⅰ）设平面平面，求证：//； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． （Ⅰ）证明： 因为//，平面，平面， 所以//平面. ……………………………2分 因为平面，平面平面， 所以//. …………………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，. ………………………5分 所以 ，， ， 所以， . 所以 ，. 因为 ，平面， 平面， 所以 平面. 9分 （Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为. 所以 . 所以 . 所以 即. 所以 . ………………11分 由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.………………12分 因为 ， 所以 . 解得 .所以 . ……………14分 （2012年朝阳一模立体几何） 4. 已知平面，直线，且，则“且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B （2012年朝阳一模立体几何） 10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 2 1 1 3 3 正视图 侧视图 俯视图 2 1 答案： （2012年朝阳一模立体几何）17. （本小题满分14分） C A F E B M D 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）在线段上是否存在一点， 使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不 存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）取的中点，连接. N C A F E B M D 在△中，是的中点，是的中点，所以， 又因为， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 故平面. …………… 4分 解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ……………1分 由已知可得 z C A F E B M D x y （Ⅰ）， . ……………2分 设平面的一个法向量是. 由得 令，则. ……………3分 又因为， 所以，又平面，所以平面. ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 故是平面的一个法向量. 所以，又二面角为锐角， 故二面角的大小为. ……………10分 （Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为. 不妨设（），则. 所以， 由题意得， 化简得， 解得. 所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.…………14分 （2012年丰台一模立体几何） 5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ） A．4 B． C．8 D． 答案：B （2012年丰台一模立体几何）16．（本小题共14分） 四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD底面ABCD，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上． （I）求证：ADPB； （Ⅱ）若Q是PC的中点，求二面角E—DQ—C的余弦值； （Ⅲ）若，当PA//平面DEQ时，求A的值． 证明：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，BD． 因为 PA=PD， 所以 PO⊥AD． ……………………1分 因为 菱形ABCD中，∠BCD=60º， 所以 AB=BD， 所以 BO⊥AD． ……………………2分 因为 BO∩PO=O， ……………………3分 所以 AD⊥平面POB．……………………4分 所以 AD⊥PB． ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BO⊥AD，PO⊥AD． 因为 侧面PAD⊥底面ABCD， 且平面PAD∩底面ABCD=AD， 所以PO⊥底面ABCD． ……………6分 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系． ……………………7分 则，，， ， 因为为中点， 所以． ………8分 所以 ，， 所以平面的法向量为． 因为 ，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，即．………………9分 ． 由图可知，二面角E-DQ-C为锐角，所以余弦值为．…………10分 （Ⅲ）因为，所以 ， 由（Ⅱ）知，， 若设，则， 由 ， 得， 在平面中，，， 所以平面法向量为， ……………………12分 又因为 PA // 平面DEQ， 所以 ， ……………………13分 即，得． 所以，当时，PA // 平面DEQ． ……………………14分 （2012年石景山一模立体几何） 4.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ 　） A． B． C． D． 答案：D （2012年石景山一模立体几何） 7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A． B． C． D． 答案：A A C B D P 8．如图，已知平面，、是上的两个 点，、在平面内，且 ，，在平面上有一个 动点，使得，则体积 的最大值是（ ） A． B． C． D． 答案C （2012年石景山一模立体几何） 17 ．（本小题满分14分） C1 A1 C B1 A B D 如图，三棱柱中，⊥面，， ，为的中点. （Ⅰ）求证：； 　 （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得 ？请证明你的结论. ，， …………5分 设是面BDC1的一个法向量，则 即，取. …………7分 易知是面ABC的一个法向量. …………8分 . ∴二面角C1—BD—C的余弦值为. …………9分 （III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1. 设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ， …………10分 则，即. …………12分