《近世代数》考试卷.doc

xx师范大学05级《近世代数》考试卷 (xx学年第二学期) 考试类别 考试 使用学生　数理学院数学xx级 初阳综合理科xx级 考试时间　150　分钟　　 　 出卷时间 xx 年 6 月 10 日 说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 一、选择题 ( 每小题2分，共20分 ) 1．设A＝{a，b，c}，在下列运算表所给出的A的代数运算中，不满足结合律的是 ( )。 a b c a a a a b a a a c a a a a b c a a b c b a b c c a b c a b c a c b b b a a c c b c c a b c a a b c b b c a c c a b A． B． C． D． 2．设A，B是两个集合，且 | A |＝4，| B |＝3，那么， | 2A×B |＝ ( )。 A．12 B．48 C．64 D．81 3．设S是一个半群，那么，在下列关于半群S的叙述中，正确的是 ( )。 A．S必定有左单位元eL或者有右单位元eR B．S中消去律必定成立 C．如果S是一个交换半群，那么，S一定存在单位元 D．如果S至少有两个不同的左单位元，那么，S必定没有右单位元 4．设G1，G2是两个循环群，且G1＝(a)，G2＝(b)，那么，下列结论成立的是 ( )。 A．必存在G1到G2的同态映射f B．必存在G1到G2的同态满射f C．必存在G1到G2的同态单射f D．必存在G1到G2的同构映射f 5．设G是一个群，H1，H2是G的两个子群，在下列各式中一定成立的是 ( )。 A．H1H2＝H1 B．H1H2＝H1∪H2 C．H1H2＝H1∩H2 D．H1H1＝H1 6．设G是一个有限群，H是G的一个不变子群，在下列叙述中，正确的是 ( )。 A．a，b∈G，有aba－1∈H B．a∈H，b∈G，有aba－1∈H C．a∈G，b∈H，有aba－1∈H D．如果aH＝bH，则ab－1＝b－1a 7．设R是一个环，a，b∈R，n∈Z，在下列等式恒成立的是 ( )。 A．n(ab)＝(na)b＝a(nb) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(ab)2＝a2b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 8．设Z15是以15为模的剩余类环，那么，Z15的子环共有 ( ) 个。 A．2 B．4 C．6 D．15 9．设R是一个环，X是环R的一个非空子集，[ X ]表示由子集X生成的子环，( X )表示由子集X生成的理想，那么，下列集合之间的关系一定成立的是 ( )。 A．[ X ]( X ) B．[ X ]( X ) C．[ X ]＝( X ) D．[ X ] ≠ ( X ) 10．设R是一个环，I是R的一个理想，在下列关于环的叙述中，正确的是 ( )。 A．如果I是R的一个素理想，则I必定是R的一个极大理想 B．如果I是R的一个极大理想，则I必定是R的一个素理想 C．如果R是一个无零因子环，则零理想{0}是R的一个素理想 D．如果R是一个无零因子环，则零理想{0}是R的一个极大理想 二、填空题 ( 空格2分，共24分。答题时请写清题号 ) 1．设集合A＝{a，b，c}，记A×A为A与A的积集合，2A为A的幂集合。那么，A×A＝ ，2A＝ 。 2．设A＝{1，2，3，4}，S＝{{1}，{2，3}，{4}}，那么，由集合A的分类S所确定的等价关系E＝ (写成A×A的子集的形式)。 3．设G是一个不可交换群，那么，G最少含有 个元素，试给出一个你所熟悉的最小的不可交换群： 。 4．设3次对称群S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，子群H＝{(1)，(23)}，那么，S3的两个左陪集 (12)H与 (13)H的积[(12)H][(13)H]＝ ，且求S3关于子群H的左陪集分解 。 5．记以30为模的剩余类加群Z30＝{，，，…，}，以10为模的剩余类加群Z10＝{[0]，[1]，[2]，…，[9]}，作群同态映射： f：Z30 → Z10， [2k]，∈Z30， 那么，同态映射f的象Im f ＝ ，f的同态核Ker f ＝ 。 6．设R是一个环，a∈R，记 (a) 为由元素a生成的主理想。当R是一个有单位元的环时，则 (a)＝ ；当R是交换环时，则 (a)＝ ； 7．设R是一个环，I，K是R的两个理想，那么，(I＋K) / I 。 三、计算题 ( 每小题8分，共16分。要求写出计算的过程或计算的理由) 1．在7次对称群S7中计算： (1) 将(1357)－1 (345) (1357) 表示成若干个互不相交的循环置换之积； (2) 设k是一个自然数，计算：[(1357)－1 (345) (1357)]k。 2．设Z12为以12为模的剩余类环， (1) 求出Z12的所有理想； (2) 试给出Z12的所有极大理想与素理想。 四、证明题 ( 每小题10分，共40分 ) 1．设G1，G2是两个群，记 G＝G1×G2＝{(a，b) | a∈G1，b∈G2}， 规定G的代数运算“”： (a，b)(c，d)＝(ac，bd)， (a，b)，(c，d)∈G。 (1) 验证G关于代数运算“”作成一个群； (2) 如果G1，G2分别为m，n阶的循环群，证明G是mn阶的循环群。 2．设G是一个群，H是G的一个不变子群，规定商集合G / H的运算：(aH)(bH)＝(ab)H， aH，bH∈G / H， 证明：以上所规定的代数运算是合理的，即与代表元的取法无关。 3．设 Z[]＝{a＋b | a，b∈Z，p为某个固定的素数}， 验证Z[]关于数的加法与乘法作成一个整环。 4．设R[x]为实数域R上的一元多项环，p(x)为R[x]上的一个不可约多项式。 (1) 证明：由多项式p(x)生成的理想(p(x))是R[x]上的一个极大理想。 (2) 证明：商环R[x] / (p(x)) 或同构于实数域R，或同构于复数域C。 5．(此题只要求初阳学院的同学做) 设 Z Q G＝， H＝， (1) 证明：G关于矩阵的乘法作成一个群，且H是G的一个不变子群； (2) 求商群G / H。 大学数学