初等数论期末考试模拟试卷（含答案）.docx

初等数论期末考试模拟试卷（含答案） 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果，，则( ). A B C D 2、如果，，则15（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果,是任意整数,则 A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解. A B C D 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式有解的充分必要条件是( ). 3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ). 5、的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程. 3、解同余式. 4、 求,其中563是素数. 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数,数是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. 试卷答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式有解的充分必要条件是(). 3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ). 5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[] =[1768,391] ------------(4分) = =104391 =40664. ------------（4分） 2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，，所以有解； ----------------------------（2分） 化简得； -------------------（1分） 考虑，有， -------------------（2分） 所以原方程的特解为， -------------------（1分） 因此，所求的解是。 -------------------（2分） 3、解同余式. （8分） 解 因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3. --------（1分） 又同余式等价于,即. ------------（1分） 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分） 即定理4.1中的. ------（1分） 因此同余式的3个解为 , ---------（1分） , -----------------（1分） .---------（1分） 4、求,其中563是素数. （8分） 解 把看成Jacobi符号,我们有 ---------------（3分）----------------------（2分） ,-----------------（2分） 即429是563的平方剩余. ---------------（1分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数,数是整数. (10分) 证明 因为==, ------（3分） 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -（2分） 并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从和有,-----（3分） 即是整数. -----（1分） 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为, -------------（3分） 所以只需证明T. 而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成, 所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7. 对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以T ---------（7分） 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分） 3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明 设是正数,并且, -----（3分） 如果 , ---------（1分） 则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余, 所以只能与0,1同余, 所以 , ---------（4分） 而这与的假设不符, -------（2分） 即定理的结论成立. ---（1分）