大学全册高等数学知识点(全).doc

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *; * (2)初等函数: (3)分段函数: *; *;* (4)复合(含)函数: (5)隐式(方程): (6)参式(数一,二): (7)变限积分函数: (8)级数和函数(数一,三): 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (单调定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 二. 极限性质: 1. 类型: *; *(含); *(含) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: , , , , , , , , 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当时, ; ; ; ; ; ; ; 2. 泰勒公式: (1); (2); (3); (4); (5). 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断(其它如:); (2)变量代换(如:) 1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量乘积 () (注:) 3. 处理(其它如:) 4. 左右极限(包括): (1); (2); ; (3)分段函数: , , 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比: 与) (2)幂指型处理: (如: ) (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: (分段函数) 六. 非常手段 1. 收敛准则: (1) (2)双边夹: *, * (3)单边挤: * * * 2. 导数定义(洛必达?): 3. 积分和: , 4. 中值定理: 5. 级数和(数一三): (1)收敛, (如) (2), (3)与同敛散 七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶): * (1) (2) 2. 渐近线(含斜): (1) (2),() 3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, 连续性) 八. 上连续函数性质 1. 连通性: (注:, “平均”值:) 2. 介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: (根的个数); (2). 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理) 一. 基本概念: 1. 差商与导数: ; (1) (注:连续)) (2)左右导: ; (3)可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导) 2. 微分与导数: (1)可微可导; (2)比较与的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; (注: ) 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数 三. 各类求导(方法步骤): 1. 定义导: (1)与; (2)分段函数左右导; (3) (注: , 求:及的连续性) 2. 初等导(公式加法则): (1), 求:(图形题); (2), 求: (注: ) (3),求及 (待定系数) 3. 隐式()导: (1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导(数一,二): , 求: 5. 高阶导公式: ; ; ; 注: 与泰勒展式: 四. 各类应用: 1. 斜率与切线(法线); (区别: 上点和过点的切线) 2. 物理: (相对)变化率速度; 3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点): (1) ; ; (2)分段函数的单调性 (3)零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点: (1)表格(变号); (由的特点) (2)二阶导() 注(1)与的匹配(图形中包含的信息); (2)实例: 由确定点“”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明() (1)区别: *单变量与双变量? *与? (2)类型: *; * *; * (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: ) 4. 函数的零点个数: 单调介值 六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. 表格; () 2. 应用: (1)泰勒估计; (2)单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: 2. 辅助函数构造实例: (1) (2) (3) (4); 3. 有个零点有个零点 4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定) 5. 注: 含时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理): 在可导,,,使: 八. 拉格朗日中值定理 1. 结论: ; () 2. 估计: 九. 泰勒公式(连接之间的桥梁) 1. 结论: ; 2. 应用: 在已知或值时进行积分估计 十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学 一. 基本概念: 1. 原函数: (1); (2); (3) 注(1)(连续不一定可导); (2) (连续) 2. 不定积分性质: (1); (2); 二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆(线性性) 3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活() 如: 4. 变量代换: (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): (2)作用与引伸(化简): 5. 分部积分(巧用): (1)含需求导的被积函数(如); (2)“反对幂三指”: (3)特别: (*已知的原函数为; *已知) 6. 特例: (1); (2)快速法; (3) 三. 定积分: 1. 概念性质: (1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值) *; * (3)附: , ) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分的处理(重点) (1)可积连续, 连续可导 (2); ; (3)由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题 3. 公式: (在上必须连续!) 注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含的方程. 4. 变量代换: (1), (2) (如:) (3), (4); , (5), 5. 分部积分 (1)准备时“凑常数” (2)已知或时, 求 6. 附: 三角函数系的正交性: 四. 反常积分: 1. 类型: (1) (连续) (2): (在处为无穷间断) 2. 敛散; 3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部) 4. 特例: (1); (2) 五. 应用: (柱体侧面积除外) 1. 面积, (1) (2); (3); (4)侧面积: 2. 体积: (1); (2) (3)与 3. 弧长: (1) (2) (3): 4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心, 5. 平均值(中值定理): (1); (2), (以为周期:) 第四讲: 微分方程 一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程: (1)令(如欧拉方程) (2)令(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程: 1. 形式: (1); (2); (3) 2. 变量分离型: (1)解法: (2)“偏”微分方程: ; 3. 一阶线性(重点): (1)解法(积分因子法): (2)变化: ; (3)推广: 伯努利(数一) 4. 齐次方程: (1)解法: (2)特例: 5. 全微分方程(数一): 且 6. 一阶差分方程(数三): 三. 二阶降阶方程 1. : 2. : 令 3. : 令 四. 高阶线性方程: 1. 通解结构: (1)齐次解: (2)非齐次特解: 2. 常系数方程: (1)特征方程与特征根: (2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: 的算子法) (3)由已知解反求方程. 3. 欧拉方程(数一): , 令 五. 应用(注意初始条件): 1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设 3. 导数定义立方程: 含双变量条件的方程 4. 变化率(速度) 5. 6. 路径无关得方程(数一): 7. 级数与方程: (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法: 8. 弹性问题(数三) 第五讲: 多元微分与二重积分 一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1) (2) (3) (判别可微性) 注: 点处的偏导数与全微分的极