大学数学近世代数期末复习模拟考试与答案.doc

近世代数期末考试模拟试卷及答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A、2阶　　B、3 阶 C、4 阶 　D、 6 阶 2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A、偶数 　B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A、（N,）　 B、（Z,） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） 　D、 (P(A),) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------。 3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。 9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换，。 1．求和； 2．确定置换和的奇偶性。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。 2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。 近世代数模拟试题 参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、C；2、C；3、D；4、D；5、A； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。 2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例： 3、解： 1．，； 2．两个都是偶置换。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元 这就是说=R，证毕。 2、证 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。 近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设与都是非空集合，那么。 （ f ） 2、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ f ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ t ） 4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （t ） 5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。 （ f ） 6、群的子群是不变子群的充要条件为。 （ t ） 7、如果环的阶，那么的单位元。 （ t ） 8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。 （ t ） 9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 （ f ） 10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。 （ f ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（ 2 ） ①集合中两两都不相同；②的次序不能调换； ③中不同的元对应的象必不相同； ④一个元的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4 ①在整数集上，； ②在有理数集上，； ③在正实数集上，；④在集合上，。 3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ 4 ）3 ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ 4 ） ①0和； ②1和0； ③和； ④和。 5、设和都是群中的元素且，那么（ 2 ）1 ①； ②； ③； ④。 6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ 3 ）2 ①6； ②24； ③10； ④12。 7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4 ①的同态核是的不变子群； ②的不变子群的逆象是的不变子群；③的子群的象是的子群； ④的不变子群的象是的不变子群。 8、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（ 4 ）3 ①若是零元，则是零元； ②若是单位元，则是单位元； ③若不是零因子，则不是零因子；④若是不交换的，则不交换。 9、下列正确的命题是（ 4 ）1 ①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（1 ）4 ①； ②； ③； ④。 三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分） 1、设集合；，则有 。 2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则 a 。 3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么 0 。 4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。 6、给出一个5-循环置换，那么 。 7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为 x 。 8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是 一个最大理想 。 9、整环的一个元叫做一个素元，如果 、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子 。 10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果 。 四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分） 1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。 消去律成立 3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。 S=I或S=R 4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。 一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子 5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。 不都等于零的元 五、计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换 组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。 2、设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。 六、证明题（每小题10分，共40分） 1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。 2、设为实数集，，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。 3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。 4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代数试卷参考解答 一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 × × √ √ × √ √ √ × × 二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②