《近世代数》模拟试题2及答案.doc

近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（ ）。 A 0 B 1 C －1 D 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（ ）。 A G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是（ ）。 A 群G是指一个集合 B 环R是指一个集合 C 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 D 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 5、下列哪个不是的共轭类 ( )。 A （1） B （123），（132），（23） C （123），（132） D （12），（13），（23） 二、计算题(每题10分，共30分) 1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群的正规化子和中心化子。 2.设G＝{1，－1，i，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。 3.设R是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。 三、证明题(每小题15分，共45分) 1、设R是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，证明是其零因子。 2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。 3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。 近世代数模拟试题答案 一、 单项选择题(每题5分，共25分) 1． A 2． D 3． C 4． D 5． B 二、计算题(每题10分，共30分) 1． 解：正规化子N（S）＝{（1），（23）}。。。。。。。。。。。。（6分） 中心化子C（S）＝{（1）}。。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分） 2． 解：群G中的单位元是1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） 1的阶是1，－1的阶是2，i和－i的阶是4。。。。（4×2分） 3． 解：设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） 所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。（3分） 因为x任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分） 因此右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） 三、证明题(每小题15分共45分) 1．证明：设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） 所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。。（5分） 因为x，y任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分） 同理设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分） 所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。。（12分） 因为x，y任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。（14分） 因此零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分） 2． 明：首先该代数运算封闭。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分） 其次我们有：（a·b）·c＝（a＋b－3）·c＝（a＋b－3）＋c－3＝a＋（（b＋c－3）－3）＝a·（b·c），结合律成立。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分） 令e＝3，验证a·e＝a＋e－3＝a，有单位元。。。。（7分） 对任意元素a，6－a是其逆元，因为a·（6－a）＝3。。。（8分） 因此，Z对该运算作成一个群。 显然，单位元是e＝3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分） 3．证明：首先证明（Z，＋）是群，+满足结合律，对任意的，，0是运算+的单位元 又由于： 所以 从而（Z，＋）为群。。。。。。。。。（2分） 由于满足交换律，所以（Z，＋）是交换群。。。。（4分） （Z，＋）的单位元为0， 对于1，由于 1+（-1）=0，所以，。。。（5分） 于是对任意， 若，则：； 若，则。。。。。。。。。。。（8分） 若，则 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分） 综上,有，对任意的. 因而，,从而（Z，＋）是无限阶循环群。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分） 大学数学