大学数学线性代数第二学期期末复习测试试卷含答案.docx

线性代数第二学期期末测试试卷含答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式，则等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 2. 设，是中元素的余子式，则=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设为阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) (B) (C) (D) 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是阶矩阵可逆的充要条件为（ ） (A) (B) 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) 的等价标准型为单位矩阵 6. 设为矩阵，为阶可逆矩阵，，则 ( )。 (A) 秩()> 秩() 　 (B) 秩()= 秩() (C) 秩()< 秩()　　 (D) 秩()与秩()的关系依而定 7. 如果向量可由向量组线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数，使得 成立 (B) 存在一组全为零的数，使得 成立 (C) 存在一组数，使得 成立 (D) 对的线性表达式唯一 8. 设是齐次线性方程组的解，是非齐次线性方程组的解，则（ ） (A) 为的解 (B) 为的解 (C) 为的解 (D) 为的解 9. 设,则的特征值是( )。 (A) (B) (C) (D) 10. 若阶方阵与某对角阵相似，则 ( )。 (A) (B) 有个互不相同的特征值 (C) 有个线性无关的特征向量 (D) 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设和为阶方阵，则有。（ ） 12. 当为奇数时，阶反对称矩阵是奇异矩阵。（ ） 13. 设为同阶方阵，，则。（ ） 14. 若矩阵有一个阶子式，且中有一个含有的阶子式等于零，则的秩等于。（ ） 15. 若非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解。（ ） 16 若向量组线性无关，则向量组线性无关。（ ） 17. 等价的向量组的秩相等。（ ） 18. 设与都是阶正交矩阵，则也是正交矩阵。（ ） 19. 矩阵不同特征值对应的特征向量必线性无关。（ ） 20. 两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等价。（ ） 第二部分 主观题（共70分） 题 号 得 分 三、填空题（共5小题，每小题2分，共10分） 1．在5阶行列式中，的符号是 2．若为3阶方阵，为的逆矩阵且，则 . 3.线性方程组 仅有零解的充要条件是 . 4.已知三阶矩阵的特征值为，则 . 5．实二次型，当＝ 时，其秩为2.。 题 号 得 分 四、计算题（一）（共3小题，每小题6分，共18分） 1. 计算4阶行列式 2. 已知向量组线性相关，求 3. 设，用施密特正交化法将该向量组正交化。 题 号 得 分 五、计算题（二）（共2小题，每小题8分，共16分） 1. 设 ， ，若矩阵满足，求。 2. 设 ，问为何值时，矩阵能对角化？ 题 号 得 分 六、计算题（三）（共2小题，每小题10分，共20分） 1.当为何值时，线性方程组 有解？在有解的情况下，求其全部解（若有无穷解，用其导出组的基础解系表示）。 2. 求向量组、、、、的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。 题 号 得 分 七、证明题（共1小题，每题6分，共计6分） 设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为和，证明不是的特征向量。 答案 本题 得分 一、单项选择题（共10小题，每题2分，共计20分） 答题要求：请将正确选项前的字母填在题后的括号内 1.若都是四维列向量，且四阶行列式，，则四阶行列式 (A)m+n (B)-(m+n) (C)n-m (D)m-n 2.设矩阵，则（B） (A) (B) (C) (D) 3.若A、B均为非零方阵，且AB=O，则有A、B（D） (A)都可逆 (B)至少有一个可逆 (C)r(A)=r(B) (D)都不可逆 4.下列向量中，可由与线性表示的是（B） (A) (B) (C) (D) 5.设矩阵A满足O，则（A） (A)A与A+4E同时可逆 (B)A+5E一定可逆 (C)齐次线性方程组O有非零解 (D)A-E一定可逆 6.若n阶矩阵A的行列式，则A的秩为（D） (A)1 (B)0 (C)n-1 (D)n 7.设A为n阶方阵，且，有（C） (A)A中必有两行（列）元素对应成比例 (B)A中至少有一行（列）元素全为零 (C)A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 8.设A为矩阵，则齐次线性方程组AX=O仅有零解的充要条件是（D） (A)A的行向量线性相关 (B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关 (D)A的列向量线性无关 9.可逆矩阵A与矩阵（A）有相同的特征值 (A) (B) (C) (D)A+E 10.与分别是n阶方阵A的属于特征值的特征向量，若，则与（B） (A)线性相关 (B)线性无关 (C)相等 (D)正交 本题 得分 二、判断题（共10小题，每题1分，共计10分） 答题要求：判断正误，正确选择A，错误选择B 11.若方阵可逆，则也可逆 （A） 12.设A、B均为n阶方阵，则 （B） 13.对任意n阶方阵（n>1）A与B，都有 （B） 14.若向量组与等价，则 （B） 15.若齐次线性方程组AX=O存在基础解系，则方程组AX=b（b≠0）有无穷多解 (B) 16.若同阶矩阵A与B的秩相等，则A可经过有限次的初等变换化成B （A） 17.若是方阵A的特征值，则是的特征值（其中为自然数）（A） 18.若n阶方阵A相似于对角矩阵，则A有n个互异特征值 （B） 19.设与是A的任意两个特征向量，则也是其特征向量 （B） 20.若A为正交矩阵，则 （A） 本题 得分 三、填空题（共10小题，每题2分，共计20分） 答题要求：请将最终答案直接填在题中横线上. 21.设A为三阶矩阵，且，则 54 22. ，则 23.设矩阵A可逆，则其伴随矩阵可逆，且 24.如果阶矩阵A的行向量组线性无关，则齐次线性方程组AX=O的 基础解系中含有个向量 25.若向量组中含有零向量，则此向量组线性相关 26.若与正交，则 27.设A为正交矩阵，则 28.设三阶矩阵A的特征值为-2、1、4，则 29.已知-5是方阵A的特征值，则A-2E一定有一个特征值-7 30.设为非齐次线性方程组AX=b的一组解，如果 也是该方程组的一个解，则 S1：本题 得分 计算题一（共2小题，每题8分，共16分） 答题要求：写出文字说明和主要验算步骤 1．计算四阶行列式 解： = 2.解矩阵方程，其中， 解： S2：本题 得分 计算题二（共3小题，每题10分，共30分） 答题要求：写出文字说明和主要验算步骤 1.给定向量组，，， ，求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余 向量用该极大无关组线性表示。 解： 所以：，是一个极大无关组，且 2.用其导出组的基础解系表示下面方程组的全部解 令，得线性方程组的一个特解 其导出组的一般解为： 令分别为 得导出组的基础解系为： 所以，方程组的全部解为： （） 3.已知的特征值为-1,2，5，求正交矩阵，使得 为对角矩阵。 解：当时，由，得基础解系为 当时，由，得基础解系为 当时，由，得基础解系为 不难验证是正交向量组，把单位化，得 S3：本题 得分 证明题（共1小题，共计4分） 答题要求：应写出文字说明 1. 已知n维向量线性无关，则向量组线性 无关。 证明： 整理得： 线性无关 解得： 所以，向量组线性无关。 线性代数第二学期期末测试试卷含答案 班别_________ 姓名___________ 成绩_____________ 要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。 本题 得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将 所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分） 1.在展开式中，的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.是m×n矩阵，是m阶可逆矩阵，是m阶不可逆矩阵，且 ，则 （ ） (A) 的基础解系由n-m个向量组成 (B) 的基础解系由n-r个向量组成 (C) 的基础解系由n-m个向量组成