2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版22.docx

二零零二年全国高中数学联赛试卷 一试题 (2022年10月13日上午8：00—9：40) 一．选择题(本小题总分值36分，每题6分)： 1．函数f(x)=log(x2－2x－3)的单调递增区间是 A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(3，＋∞) 2．假设实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2=142，那么x2＋y2的最小值为 A．2 B．1 C． D． 3．函数f(x)=－ A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 4．直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3．这样的点P共有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．两个实数集合A={a1，a2，a3，…，a100}，与B={b1，b2，…，b50}，假设从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，那么这样的映射共有 A．C B．C C．C D．C 6．由曲线x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，那么 A．V1=V2 B．V1=V2 C．V1=V2 D．V1=2V2 二．填空题(此题总分值54分，每题9分) 7．复数Z1、Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，假设它们所对应的向量的夹角为60°，那么= ； 8．将二项式的展开式按x 的降幂排列，假设前三项的系数成等差数列，那么该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个； 9．如图，点P1、P2、…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1，Pi，Pj，Pk)(1<i<j<k≤10)有 个； 10．f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意xÎR都有 f(x＋5)≤f(x)＋5，f(x＋1)≥f(x)＋1,. 假设g(x)=f(x)＋1－x，那么g(2022)= ； 11．假设log4(x＋2y)＋log4(x－2y)=1，那么|x|－|y|的最小值是 ； 12．使不等式sin2x＋acosx＋a2≥1＋cosx对于一切xÎR恒成立的负数a的取值范围是 ； 三．解答题(此题总分值60分，每题20分)： 13．点A(0，2)和抛物线y2=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围． 14．如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，P0是面积为1的等边三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间局部的线段为边向形外作等边三角形，再将中间局部的线段去掉(k=0，1，2，…)．记Sn为曲线Pn所围成图形的面积． ⑴ 求数列{Sn}的通项公式； ⑵ 求Sn． 15．设二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a，b，cÎR，a≠0)满足条件： ⑴ 当xÎR时，f(x－4)=f(2－x)，且f(x)≥x； ⑵ 当xÎ(0，2)时，f(x)≤； ⑶ f(x)在R上的最小值为0． 求最大的m(m>1)，使得存在tÎR，只要xÎ[1，m]，就有f(x＋t)≤x． 二试题 (本卷共三个大题，共150分，每题50分) 一．在ΔABC中，∠BAC=60°，AB>AC，点O为ΔABC的外心，两条高BE、CF的交于点H，点M、N分别在线段BH与HF上，且满足BM=CN． 求的值． 二．实数a，b，c和正数λ使得f(x)=x3＋ax2＋bx＋c有三个实根x1，x2，x3，且满足 ⑴ x2－x1=λ； ⑵ x3>(x1＋x2)． 求的最大值． 三．在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？ 2022年全国高中数学联赛解答 一试题 (2022年10月13日上午8：00—9：40) 一．选择题(本小题总分值36分，每题6分)： 1．函数f(x)=log(x2－2x－3)的单调递增区间是 A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(3，＋∞) 解：由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3． 在x∈(－∞，－1)时，u= x2－2x－3单调减，f(x)单调增；在x∈(3，+∞)时，u= x2－2x－3单调增，f(x)单调减．应选A 2．假设实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2=142，那么x2＋y2的最小值为 A．2 B．1 C． D． 解：令x+5=14cosθ，y－12=14sinθ，那么x2+y2=196+28(5cosθ－12sinθ)+169=365+364sin(θ+φ)≥1．选B． (亦可用几何意义解：圆上点到原点距离平方的最小值) 3．函数f(x)=－ A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 解：f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)；f(x)－f(－x)= －－+=－x=0． 即f(x)是偶函数．选A． 4．直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3．这样的点P共有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3x+4y－12=0． 设点P(4cosθ，3sinθ)． 点P与直线的距离d=， 当0≤θ≤时，d≤(－1)，SABC≤6(－1)<3．即此时没有三角形面积=3； 当<θ<2π时，d≤(+1)，SABC≤6(+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B． 5．两个实数集合A={a1，a2，a3，…，a100}，与B={b1，b2，…，b50}，假设从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，那么这样的映射共有 A．C B．C C．C D．C 解：不妨设b1≤b2≤…≤b50，在a1，a2，…，a100的每两个数间有1个空档，共99个空档，其中任选49个空档插入1条竖杠， 把a1，a2，…，a100分成50段，从前向后的第i段中的数映射到bi，即满足要求． 共有C种插法，选D． 6．由曲线x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，那么 A．V1=V2 B．V1=V2 C．V1=V2 D．V1=2V2 解：作平面y=h(0≤h≤4)．与图形⑴交于一个圆环，圆环面积=π(42－x2)=π(16－4h)； 与图⑵交得一个圆环，面积=π(16－h2)－π(4－(h－2)2)=π(16－h2－(－h2+4h))=π(16－4h)． 说明该平面与两个旋转体截得的面积相等．由祖暅原理知，V1=V2，选C． 二．填空题(此题总分值54分，每题9分) 7．复数Z1、Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，假设它们所对应的向量的夹角为60°，那么= ； 解：由余弦定理知|Z1+Z2|==；|Z1－Z2|==， ∴==． 8．将二项式的展开式按x 的降幂排列，假设前三项的系数成等差数列，那么该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个； 解：前三项系数为1，n，n(n－1)，于是得n=1+n(n－1)，解得，n=8，和n=1(舍去)． 当n=8时，Tr+1=C()rx= C()rx，当r=0，4，8时x的指数为整数，∴共有3个． 9．如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1，Pi，Pj，Pk)(1<i<j<k≤10)有 个； 解：同在某一侧面上：除P1外另外5点中任取3点与P1共4点组成一个四点组，有3 C=30组，每条侧棱上三点与对棱中点：3组． ∴共有33组． 10．f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意xÎR都有 f(x＋5)≤f(x)＋5，f(x＋1)≥f(x)＋1,. 假设g(x)=f(x)＋1－x，那么g(2022)= ； 解：由后式，f(x+5)≥f(x+4)+1≥f(x+3)+2≥f(x+2)+3≥f(x+1)+4≥f(x)+5．比较前式得f(x+1)=f(x)+1． ∴ f(x)=x对一切x∈Nx成立，∴ 对于x∈Nx，g(x)=f(x)+1－x=x+1－x=1 ∴ g(2022)=1． 11．假设log4(x＋2y)＋log4(x－2y)=1，那么|x|－|y|的最小值是 ； 解：x>－2y，x>2y，x2－4y2=4．由对称性，只考虑x>0，y>0的情况． 令x=2secθ，y=tanθ，(0<θ<)，u=x－y=表示点(0，2)与点(－cosθ，sinθ)连线的斜率，当直线与单位圆相切时，u最小为．即所求最小值为． (或用判别式法解) 12．使不等式sin2x＋acosx＋a2≥1＋cosx对于一切xÎR恒成立的负数a的取值范围是 ； 解：即(cosx－)2≤a2+()2，假设(1－)2≤a2+()2，那么a2+a－2≥0． ∴ a≤－2或a≥1，但a<0，故a≤－2． 三．解答题(此题总分值60分，每题20分)： 13．点A(0，2)和抛物线y2=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围． 解：设B(y02－4，y0)，C(y12－4，y1)．那么 kAB==．kBC==． 由kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1． ∴ y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0． ∴ △=(y1+2)2－4(2y1+1)=y12－4y1≥0， ∴ y1≤0，y1≥4． 当y1=0时，得B(－3，－1)，当y1=4时，得B(5，－3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)． 14．如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，P0是面积为1的等边三角形，Pk＋1是