2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案排列与组合的综合应用高中数学.docx

10.3排列组合的综合应用 一、明确复习目标 1.加深对排列、组合意义理解; 2.掌握有关排列、组合综合题的一些常用解法; 3.学会分类讨论的思想,提高分析问题和解决问题的能力. 二．建构知识网络 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,透过问题的外表现象,看出问题的数学本质.然后,要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1.优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或说是“先解决特殊元素或特殊位置〞. 2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏. 如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 =156种排法。 3.排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4.捆绑法:某些元素必相邻的排列.可以先将相邻的元素“捆成一个〞元素,与其它元素进行排列，然后再再给那“一捆元素〞内部排列. 5.插空法:某些元素不相邻的排列.可以先排其它元素然,再让不相邻的元素插空; 6.插板法：n个 相同元素,分成m(m≤n)组,每组至步一个的分组问题——把n个元素排成一的排,从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板,有. 例如:n个相同的小球分给m个人,每人至少一个小球的分法有种分法. 如果没有“每人至少一个〞的限制,那么需设想“每人先献出一个小球〞,再对n+m个小球用“插板法〞,有种. 7.分组、分配法： 分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、局部等分之别。一般地平均分成n堆〔组〕，必须除以n!, 如果有m堆〔组〕元素个数相等，必须除以m！ 例如：6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有 =60种分法； 6本不同的书分成三组，每组2本，共有÷3！=15种分法； 6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有÷2！=15种分法； 分配问题(有序分组):逐个分给. 例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有 =210种分法。 如果不明确谁得3本,谁得2本呢(先分组再分配,或先确定确定得3个球,再逐个分) 8.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题： 三、双基题目练练手 1．(2023湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全局部给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 〔 〕 A．168 B．96 C．72 D．144 2．〔2023北京〕在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 ( ) A.36个 B.24个 C.18个 D.6个 3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ( ) A B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 P A.234 B.346 C.350 D.363 4. (2023江苏) 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为 〔 〕 A．96 B.48 C.24 D.0 5.某校准备参加2023年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_______种. 6.(2023陕西) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个遥远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,那么不同的选派方案共有 种 7. (2023春北京)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有__________个，其中不同的偶函数共有__________个．〔用数字作答〕 8. (2023浙江)从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)． 简答:1-3.DBBB; 3.〔1〕前排一个，后排一个，2C·C=192. 〔2〕后排坐两个〔不相邻〕，2〔10+9+8+…+1〕=110. 〔3〕前排坐两个，2·〔6+5+…+1〕+2=44个. ∴总共有192+110+44=346个. 解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻. ∴总共有A+2+2=346个.答案：B 4.先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有A44=24种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求平安存放: 7放入①，8放入②，5放入③，6放入④;或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④两种放法.综上所述:共有A44×2=48种放法.应选B. 5.用隔板法：C=C=36. 6. 600; 7. 18 6; 8. 8424. 四、经典例题做一做 【例1】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内 (1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？ (2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 〔3〕每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 解:〔1〕 =1200〔种〕 (2)-1=119〔种〕 (3)不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：×9=45 第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法： 先让1号球放，1号球放到哪个盒中就让哪个球放，…… 有 4×(2+3×3)=44 (种) , ∴ 满足条件的放法数为：-45-44=31〔种〕 【例2】某运输公司有3个车队,每个车队有10辆汽车, 现从这3个车队中选派6辆汽车执行一项运输任务,每个车队至少1辆共有多少种选派方法 分析：这里所谓不同的选派方法，只是每个车队派车数目的不同，是相同元素的分组问题——用“插板法〞 解：把6个派车指标排成一排，是一种排法，有5个空，插2个板，分成3组即可，共有 =10〔种〕 ◆拓展引伸：方程x+y+z=7有多少组正整数解？〔看成7个相同的元素分给3人〕 假设求方程x+y+z=7有多少组自然数解呢？〔让3人每人拿出1个元素，如上法分10个元素〕 【例3】某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中共有男女同学多少人？ 解：设有男生n人，女生8-n人，那么有即(n-1)n(8-n)=60. 又 60的小于等于7的因数有1、2、3、4、5、6，因为n-1和n相邻， ∴n=5,8-n=3,即男生5人，女生3人，或n=6,8-n=2，即男生6人，女生2人。 ◆ 提炼方法：1.引进待定的未知数,列方程求解; 2.“先取元素，后排顺序〞.一类重要题型和方法。 【例4】一栋7层的楼房备有电梯,现有A,B,C,D,E五人从一楼进电梯上楼，求 (1)有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数. (2)在(1)的条件下,一层只能下1个人,共有多少种情况 解: (1)分A上不上7楼两类： A上7楼，有54种； A不上7楼，有4×4×43种. 共有54＋4×4×43＝1649种． (2)分2楼下人和不下人两类,每类再分A上不上7楼两种情况. 2楼下人,有种; 2楼不下人,有种 ∴共有 =504种情况. ◆提炼方法：题(1)是计数原理,题(2)是排列组合,应注意区分. 【研讨.欣赏】〔1〕一条长椅上有9个座位，3个人坐，假设相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法 〔2〕一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法 解：〔1〕先将3人〔用×表示〕与4张空椅子〔用□表示〕排列如图〔×□□×□□×〕，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示〔↓×□↓□×□↓□×↓〕，从4个空当中选2个插入，有C种插法；二是2张同时插入，有C种插法，再考虑3人可交换有A种方法. 所以，共有A〔C+C〕=60〔种〕. 下面再看另一种构造方法： 先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有AC种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为A·C=60. 〔2〕可先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个“元素〞〔一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位〕插入4个人形成的5个“空当〞之间，有A种插法，所以所求的坐法数为A·A=480. 五．提炼总结以为师 1.对排列、组合的应用题应遵循两个原那么：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步. 2.对于有附加条件的排列组合应用题，应掌握以下根本方法与技巧 〔1〕特殊元素优先安排；〔2〕合理分类与准确分步；〔3〕先选后排；〔4〕相邻问题捆绑处理；〔5〕不相邻问题插空处理；〔6〕定序问题排除法处理；〔7〕分排问题直排处理；〔8〕“小集团〞排列问题先整体后局部；〔9〕构造模型；〔10〕正难那么反，等价转化. 3. 记住一些常题型的特殊解法;如捆绑法,插空法, 排除法, 插板法,分组、分配等. 同步练习 10.3排列组全的综合应用 【选择题】 1.(2023天津)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，那么不同的放球方法有〔　　〕 A．10种 B．20种 C．36种 D．52种 2.(2023湖南)4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规那么规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.假设4位同学的总分为0，那么这4位同学不同得分情况的种数是〔　 〕 　　A．48　　 B．36　　 C．24　　 D．18 【填空题】 3.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种. 4.(2023辽宁)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.〔用数字作答〕 5.〔2023辽宁〕5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,那么入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_____种.〔以数作答〕 6.有13名医生,其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,假设医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方