2023
年高
数学
竞赛
标准
讲义
第八
平面
向量
doc
高中数学
2023高中数学竞赛标准讲义:第八章:平面向量
一、根底知识
定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法那么。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0,使得a=f
定理3 平面向量的根本定理,假设平面内的向量a, b不共线,那么对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x, y,使得c=xa+yb,其中a, b称为一组基底。
定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x, y,使得c=xi+yi,那么(x, y)叫做c坐标。
定义4 向量的数量积,假设非零向量a, b的夹角为,那么a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。
定理4 平面向量的坐标运算:假设a=(x1, y1), b=(x2, y2),
1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),
2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c,
3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),
4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.
定义5 假设点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,那么存在唯一实数λ,使,λ叫P分所成的比,假设O为平面内任意一点,那么。由此可得假设P1,P,P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),那么
定义6 设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点,平移到上对应的点为,那么称为平移公式。
定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法那么及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,…,xn),b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法那么及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2)对于任意n个向量,a1, a2, …,an,有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向与例题
1.向量定义和运算法那么的运用。
例1 设O是正n边形A1A2…An的中心,求证:
【证明】 记,假设,那么将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合,所以不变,这不可能,所以
例2 给定△ABC,求证:G是△ABC重心的充要条件是
【证明】必要性。如下列图,设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,那么
又因为BC与GP互相平分,
所以BPCG为平行四边形,所以BGPC,所以
所以
充分性。假设,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,那么因为,那么,所以GBCP,所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G为重心。
例3 在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【证明】 如下列图,结结BQ,QD。
因为,
所以
=·
= ①
又因为
同理 , ②
, ③
由①,②,③可得
。得证。
2.证利用定理2证明共线。
例4 △ABC外心为O,垂心为H,重心为G。求证:O,G,H为共线,且OG:GH=1:2。
【证明】 首先
=
其次设BO交外接圆于另一点E,那么连结CE后得CE
又AHBC,所以AH//CE。
又EAAB,CHAB,所以AHCE为平行四边形。
所以
所以,
所以,
所以与共线,所以O,G,H共线。
所以OG:GH=1:2。
3.利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.
【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.
例6 △ABC内接于⊙O,AB=AC,D为AB中点,E为△ACD重心。求证:OECD。
【证明】 设,
那么,
又,
所以
a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)
又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。
所以a·(b-c)=0. 所以OECD。
4.向量的坐标运算。
例7 四边形ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE。
【证明】 如下列图,以CD所在的直线为x轴,以C为原点建立直角坐标系,设正方形边长为1,那么A,B坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E点的坐标为(x, y),那么=(x, y-1), ,因为,所以-x-(y-1)=0.
又因为,所以x2+y2=2.
由①,②解得
所以
设,那么。由和共线得
所以,即F,
所以=4+,所以AF=AE。
三、根底训练题
1.以下命题中正确的选项是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|,且a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③假设a·b=a·c,那么b=c;④假设a, b不共线,那么xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n;⑤假设,且a, b共线,那么A,B,C,D共线;⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。
2.正六边形ABCDEF,在以下表达式中:①;②;③ ;④与,相等的有__________.
3.a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,那么|x|+|y|=__________.
4.设s, t为非零实数,a, b为单位向量,假设|sa+tb|=|ta-sb|,那么a和b的夹角为__________.
5.a, b不共线,=a+kb, =la+b,那么“kl-1=0”是“M,N,P共线〞的__________条件.
6.在△ABC中,M是AC中点,N是AB的三等分点,且,BM与CN交于D,假设,那么λ=__________.
7.不共线,点C分所成的比为2,,那么__________.
8.=b, a·b=|a-b|=2,当△AOB面积最大时,a与b的夹角为__________.
9.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象,c=(1, -1), 假设,c·b=4,那么b的坐标为__________.
10.将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,那么b的坐标为__________.
11.在Rt△BAC中,BC=a,假设长为2a的线段PQ以点A为中点,试问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值。
12.在四边形ABCD中,,如果a·b=b·c=c·d=d·a,试判断四边形ABCD的形状。
四、高考水平训练题
1.点O是平面上一定点,A,B,C是此平面上不共线的三个点,动点P满足 那么点P的轨迹一定通过△ABC的________心。
2.在△ABC中,,且a·b<0,那么△ABC的形状是__________.
3.非零向量,假设点B关于所在直线对称的点为B1,那么=__________.
4.假设O为△ABC 的内心,且,那么△ABC 的形状为__________.
5.设O点在△ABC 内部,且,那么△AOB与△AOC的面积比为__________.
6.P是△ABC所在平面上一点,假设,那么P是△ABC 的__________心.
7.,那么||的取值范围是__________.
8.a=(2, 1), b=(λ, 1),假设a与b的夹角为锐角,那么λ的取值范围是__________.
9.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,假设AM=2,那么的最小值为__________.
10.集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R},集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.
11.设G为△ABO的重心,过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q,,△OAB与△OPQ的面积分别为S和T,
(1)求y=f(x)的解析式及定义域;(2)求的取值范围。
12.两点M(-1,0),N(1,0),有一点P使得成公差小于零的等差数列。
(1)试问点P的轨迹是什么?(2)假设点P坐标为(x0, y0), 为与的夹角,求tan.
五、联赛一试水平训练题
1.在直角坐标系内,O为原点,点A,B坐标分别为(1,0),(0,2),当实数p, q满足时,假设点C,D分别在x轴,y轴上,且,那么直线CD恒过一个定点,这个定点的坐标为___________.
2.p为△ABC内心,角A,B,C所对边长分别为a, b, c. O为平面内任意一点,那么=___________(用a, b, c, x, y, z表示).
3.平面上三个向量a, b, c均为单位向量,且两两的夹角均为1200,假设|ka+b+c|>1(k∈R),那么k的取值范围是___________.
4.平面内四点A,B,C,D满足,那么的取值有___________个.
5.A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形,P为⊙O上任意一点,那么取值的集合是___________.
6.O为△ABC所在平面内一点,A,B,C为△ABC 的角,假设sinA·+sinB·+sinC·,那么点O为△ABC 的___________心.
7.对于非零向量a, b, “|a|=|b|〞是“(a+b)(a-b)〞的___________条件.
8.在△ABC 中,,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,那么△ABC 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________.
9.P为△ABC内一点,且,CP交AB于D,求证:
10.△ABC的垂心为H,△HBC,△HCA,△HAB的外心分别为O1,O2,O3,令,求证:(1)2p=b+c-a;(2)H为△O1O2O3的外心。
11.设坐标平面上全部向量的集合为V,a=(a1, a2)为V中的一个单位向量,从V到的变换T,由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定,
(1)对于V的任意两个向量x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y;
(2)对于V的任意向量x,计算T[T(x)]-x