2023年高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入质量检测高中数学.docx

第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！) (时间120分钟，总分值150分) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．) 1．(2023·天津高考)i是虚数单位，＝ (　　) A．1＋2i　　　　　　　　　B．－1－2i C．1－2i D．－1＋2i 解析：＝＝－1＋2i. 答案：D 2．向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，那么a与b (　　) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解析：向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，那么a与b垂直． 答案：A 3．(2023·利辛模拟)向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，假设(ma＋b)∥(a－2b)，那么实数m ( ) A. B．－ C. D. 解析：ma＋b＝m(2,3)＋(－1,2)＝(2m－1,3m＋2)， a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)． ∵(ma＋b)∥(a－2b) ∴1－2m＝(3m＋2)×4. ∴m＝－. 答案：B 4．如图，＝a，＝b，＝3，用a，b表示，那么等于 (　　) A．a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案：B 5．假设在△ABC中，||＝3，||＝5，||＝4，那么|5＋|＝ (　　) A．4 B．2 C．2 D. 解析：根据三边边长易知△ABC为直角三角形． cos〈，〉＝－. ∵|5＋|2＝ 25||2＋||2＋10||·||cos〈，〉＝160. ∴|5＋|＝4. 答案：A 6．(2023·鞍山模拟)复数z＝1＋i，那么等于 (　　) A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：＝＝＝2i. 答案：A 7．命题：“假设k1a＋k2b＝0，那么k1＝k2＝0”是真命题，那么下面对a，b的判断正确 的是 (　　) A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线 C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0 解析：假设a与b共线，由得k1a＝－k2b，如果a、b均为非零向量，与条件矛盾．如果a、b中至少有一个非零向量，明显的与矛盾，排除A、D.把k1a＋k2b＝0两边平方得a2＋b2＋2k1k2a·b＝0，因为k1＝k2＝0，所以a·b不一定等于0，排除C. 答案：B 8．假设平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，那么b的坐标为 (　　) A．(3，－6) B．(－3,6) C．(6，－3) D．(－6,3) 解析：由题意设b＝λa＝λ(－1,2)． 由|b|＝3得λ2＝9.λ＝±3. 因为a与b的夹角是180°.所以λ＝－3. 答案：A 9．(2023·黄冈模拟)A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(1＋sinA,1＋cosA)，q＝(1＋sinB，－1－cosB)，那么p与q的夹角是 (　　) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 解析：锐角△ABC中，sinA＞cosB＞0，sinB＞cosA＞0， 故有p·q＝(1＋sinA)(1＋sinB)－(1＋cosA)(1＋cosB)＞0，同时易知p与q方向不相同，故p与q的夹角是锐角． 答案：A 10．非零向量，和满足·＝0，且·＝，那么△ABC为 (　　) A．等边三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：、、均为单位向量． 由·＝0，得||＝| |. 由·＝1×1×cosC＝，得C＝45°. 故三角形为等腰直角三角形． 答案：D 11．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点， M，N是线段AB的三等分点，假设OA＝6， 那么·的值为 (　　) A．13　　 B．26 C．18　　 　　　D．36 解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝6×6cos60°－6×2cos120°－6×2cos120°＋2×2cos180°＝26. 答案：B 12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积： ab＝(a1，a2) (b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动 ，点Q在y＝f(x)的图象上运动，满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，那么y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为 (　　) A．2，π B．2,4π C.，4π D.，π 解析：设Q(x0，y0)，＝(x0，y0)，＝(x，y)， ∵＝m＋n， ∴(x0，y0)＝(x，y)＋＝＋＝， ∴⇒ 代入y＝sinx中得，2y0＝sin， 所以最大值为，周期为4π. 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上．) 13．复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，假设为实数，那么实数m＝________. 解析：＝＝＝是实数，∴6＋4m＝0，故m＝－. 答案：－ 14．(文)假设向量a＝(1＋2λ，2－3λ)与b＝(4,1)共线，那么λ＝________. 解析：依题意得4(2－3λ)－(1＋2λ)＝0，由此解得λ＝. 答案： (理)a＝(3,2)，b(－1,2)，(a＋λb)⊥b，那么实数λ＝________. 解析：∵(a＋λb)⊥b， ∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝1＋5λ＝0，∴λ＝－. 答案：－ 15．平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2，那么|a|＝________. 解析：根据条件，组成以|a|，|b|，|c|为边长的三角形，由正弦定理得＝，又|c|＝2，所以|a|＝. 答案： 16．在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，假设直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，那么实数m＝________. 解析：此题考查了向量的运算．由可得＝－＝i＋(m－1)j. 当A＝90°时，·＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0，m＝－2. 当B＝90°时，·＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j]＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0. 当C＝90°时，·＝－(2i＋mj)·[－i－(m－1)j]＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0，此时m不存在．故m＝0或－2. 答案：0或－2 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题总分值12分)复数z满足：|z|＝1＋3i－z，化简 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，即－1－3i＋a＋bi＝0， 那么，⇒ ∴z＝－4＋3i. ∴＝＝＝3＋4i. 18．(本小题总分值12分)如图，在平行四边形ABCD中， M，N分别为DC，BC的中点，＝c， ＝d，试用c，d表示，. 解：法一：设＝a，＝b，那么 a＝＋＝d＋(－b)， ① b＝＋＝c＋(－a)， ② 将②代入①得a＝d＋(－)[c＋(－a)] ⇒a＝d－c，代入② 得b＝c＋(－)(d－c)＝c－d. 故＝d－c，＝c－d. 法二：设＝a，＝b. 所以＝b，＝a， 因而⇒， 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 19．(本小题总分值12分)向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos(－θ)，sin(－θ))． (1)求证：a⊥b； (2)假设存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b， y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时的最小值． 解：(1)证明：∵a·b ＝cos(－θ)·cos(－θ)＋sin(－θ)·sin(－θ) ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0. ∴a⊥b. (2)由x⊥y得：x·y＝0， 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0. 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t. ∴＝＝t2＋t＋3＝(t＋)2＋. 故当t＝－时，有最小值. 20．(本小题总分值12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量m＝(1,2sinA)，n＝(sinA,1＋cosA)，且满足m∥n，b＋c＝a. (1)求角A的大小； (2)求sin的值． 解：(1)∵m∥n，∴1＋cosA＝2sin2A， 即2cos2A＋cosA－1＝0，解得cosA＝－1(舍去)，cosA＝. 又0＜A＜π，∴A＝. (2)∵b＋c＝a， ∴由正弦定理可得sinB＋sinC＝sinA＝. 又C＝π－(A＋B)＝－B，∴sinB＋sin＝， 即sinB＋cosB＝，∴sin＝. 21．(本小题总分值12分)向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)． (1)假设x＝，求向量a，c的夹角； (2)当x∈[，]时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值． 解：(1)设a，c的夹角为θ，当x＝时， cos〈a，c〉＝＝ ＝－cosx＝－cos＝cos. ∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝. (2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1 ＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x ＝sin(2x－)． ∵x∈[，]， ∴2x－∈[，2π]， ∴sin(2x－)∈[－1，]， ∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1. 22．(本小题总分值14分)△ABC的面积为S，满足≤S≤3，且·＝6， 与的夹角为θ. (1)求角θ的取值范围； (2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋3cos2θ的最小值． 解：(1)由题意知，·＝| |·| |cosθ＝6， ① S＝||·||sin(π－θ)＝||·||sinθ， ② 由，得＝tanθ，即3tanθ＝S. 由≤S