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2023
全国
高中数学
联赛
试题
解析
苏教版
1983年全国高中数学联赛
第一试
1.选择题(此题总分值32分,每题答对者得4分,答错者得0分,不答得1分)
⑴ 设p、q是自然数,条件甲:p3-q3是偶数;条件乙:p+q是偶数.那么
A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
⑵ x=+的值是属于区间
A.(-2,-1) B.(1,2) C.(-3,-2) D.(2,3)
⑶ 等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数,那么,sinA和cosA中
A.一个是有理数,另一个是无理数 B.两个都是有理数
C.两个都是无理数 D.是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定
⑷ M={(x,y)|y≥x2},N={(x,y)|x2+(y-a)2≤1}.那么,使M∩N=N成立的充要条件是
A.a≥1 B.a=1 C.a≥1 D.0<a<1
⑸ 函数f(x)=ax2-c,满足
-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.
那么,f(3)应满足
A.7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15 C.-1≤f(3)≤20 D.-≤f(3)≤
⑹ 设a,b,c,d,m,n都是正实数,
P=+,Q=·,那么
A.P≥Q B.P≤Q
C.P<Q D.P、Q的大小关系不确定,而与m,n的大小有关.
⑺ 在正方形ABCD所在平面上有点P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形,那么具有这样性质的点P的个数有
A.9个 B.17个 C.1个 D.5个
⑻ 任意△ABC,设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r,那么
A.l>R+r B.l≤R+r C.<R+r<6l D.A、B、C三种关系都不对
2.填充题(此题总分值18分,每题6分)
⑴ 在△ABC中,sinA=,cosB=,那么cosC的值等于 .
⑵ 三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有 个.
⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数,那么积m∙n是 .
第二试
1.(此题总分值8分)求证:arc sinx+arc cosx= ,其中x∈[-1,1]
2.(此题总分值16分)函数f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1).如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< .
3.(此题总分值16分) 在四边形ABCD中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1,点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD,并且B、M、N三点共线.求证:M与N分别是AC与CD的中点.
4. (此题总分值16分)在在六条棱长分别为2,3,3,4,5,5的所有四面体中,最大体积是多少?证明你的结论.
5.(此题总分值18分) 函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B|
在 0≤x≤π上的最大值M与参数A、B有关,问A、B取什么值时,M为最小?证明你的结论.
1983年全国高中数学联赛解答
第一试
1.选择题(此题总分值32分,每题答对者得4分,答错者得0分,不答得1分)
⑴ 设p、q是自然数,条件甲:p3-q3是偶数;条件乙:p+q是偶数.那么
A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
解:p3-q3=(p-q)(p2+pq+q2).又p+q=p-q+2q,故p+q与p-q的奇偶性相同.
∴ p+q为偶数,Þp-q为偶数,Þp3-q3为偶数.
p+q为奇数,Þp、q一奇一偶,Þp3-q3为奇数.应选C.
⑵ x=+的值是属于区间
A.(-2,-1) B.(1,2) C.(-3,-2) D.(2,3)
解:x=log32+log35=log310∈(2,3),选D.
⑶ 等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数,那么,sinA和cosA中
A.一个是有理数,另一个是无理数 B.两个都是有理数
C.两个都是无理数 D.是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定
解:tan为有理数,ÞsinA、cosA都是有理数.选B.
⑷ M={(x,y)|y≥x2},N={(x,y)|x2+(y-a)2≤1}.那么,使M∩N=N成立的充要条件是
A.a≥1 B.a=1 C.a≥1 D.0<a<1
解:M∩N=N的充要条件是圆x2+(y-a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方).即a≥1,且方程
y2-(2a-1)y+a2-1=0的△=(2a-1)2-4(a2-1)≤0,Þa≥1,选A.
⑸ 函数f(x)=ax2-c,满足
-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.
那么,f(3)应满足
A.7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15 C.-1≤f(3)≤20 D.-≤f(3)≤
解:f(1)=a-c,f(2)=4a-c,f(3)=9a-c.令9a-c=λ(a-c)+μ(4a-c),
∴ λ+4μ=9,λ+μ=1.∴ λ=-,μ=.即f(3)=-f(1)+ f(2).
但≤-f(1)≤,-≤f(2)≤,
∴-1≤-f(1)+ f(2)≤20..选C.
⑹ 设a,b,c,d,m,n都是正实数,
P=+,Q=·,那么
A.P≥Q B.P≤Q
C.P<Q D.P、Q的大小关系不确定,而与m,n的大小有关.
解:由柯西不等式,Q≥P.选B.
⑺ 在正方形ABCD所在平面上有点P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形,那么具有这样性质的点P的个数有
A.9个 B.17个 C.1个 D.5个
解:如图,以正方形的顶点为圆心,边长为半径作4个圆,其8个交点满足要求,正方形的中心满足要求,共有9个点.选A.
⑻ 任意△ABC,设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r,那么
A.l>R+r B.l≤R+r C.<R+r<6l D.A、B、C三种关系都不对
解:R=,当A→180°时,a最大,而R可大于任意指定的正数M.从而可有R<6l,否认A、C.
又正三角形中,R+r=a<l, 否认B.应选D.
2.填充题(此题总分值18分,每题6分)
⑴ 在△ABC中,sinA=,cosB=,那么cosC的值等于 .
解:cosA=±,sinB=,但假设cosA=-,那么A>135°,cosB=<cos60°,B>60°,矛盾.故cosA=.
∴ cosC=cos(π-A-B)=-cosAcosB+sinAsinB=-·+·=.
⑵ 三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有 个.
解:设另两边为x,y,且x≤y.那么得x≤y≤11,x+y>11,在直角坐标系内作直线y=x,y=11,x=11,x+y=11,那么所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数.(含y=11,y=x上的整点,不含x+y=11上的整点)共有122÷4=36个.即填36.
⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数,那么积m∙n是 .
解:此六面体可看成是由两个正四面体粘成.每个正四面体的高h1=a,于是,利用体积可得Sh1=3Sr1,r1=a.
同样,正八面体可看成两个四棱锥粘成,每个四棱锥的高h2=a,又可得 a2h2=4×a2r2,r2=a.
∴ =,∴ m∙n=6.
第二试
1.(此题总分值8分)求证:arc sinx+arc cosx=,其中x∈[-1,1]
证明:由于x∈[-1,1],故arcsinx与arccosx有意义,
sin(-arccosx)=cos(arccosx)=x,由于arccosx∈[0,π],∴ -arccosx∈[-,].
故根据反正弦定义,有arcsinx=-arccosx.故证.
2.(此题总分值16分)函数f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1).如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|<.
证明:不妨取0≤x1<x2≤1,假设|x1-x2|≤,那么必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|<.
假设|x1-x2|>,那么x2-x1>,于是1-(x2-x1)<,即1-x2+x1-0<.
而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)-f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1-0|+|1-x2|
=1-x2+x1-0<.故证.
3.(此题总分值16分) 在四边形ABCD中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1,点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD,并且B、M、N三点共线.求证:M与N分别是AC与CD的中点.
证明 设AC、BD交于点E.由AM∶AC=CN∶CD,故AM∶MC=CN∶ND,令CN∶ND=r(r>0), 那么AM∶MC=r.
由SABD=3SABC,SBCD=4SABC,即SABD∶SBCD =3∶4.
从而AE∶EC∶AC=3∶4∶7.
SACD∶SABC=6∶1,故DE∶EB=6∶1,∴DB∶BE=7∶1.
AM∶AC=r∶(r+1),即AM=AC,AE=AC,
∴EM=(-)AC=AC.MC=AC,
∴EM∶MC=.由Menelaus定理,知··=1,代入得
r·7·=1,即4r2-3r-1=0,这个方程有惟一的正根r=1.故CN∶ND=1,就是N为CN中点,M为AC中点.
4. (此题总分值16分)在在六条棱长分别为2,3,3,4,5,5的所有四面体中,最大体积是多少?证明你的结论.
解:边长为2的三角形,其余两边可能是:
⑴ 3,3;⑵ 3,4;⑶ 4,5;⑷ 5,5.
按这几条棱的组合情况,以2为公共棱的两个侧面可能是:
① ⑴,⑷;② ⑴,⑶;③ ⑵,⑷.
先考虑较特殊的情况①:由于32+42=52,即图中AD⊥平面BCD,
∴ V1=··2·4=;
情况②:由于此情况的底面与情况②相同,但AC不与底垂直,故高<4