2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版13.docx

1993年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 一、选择题(每题5分，共30分) 1．假设M={(x，y)| |tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，那么M∩N的元素个数是（ ） (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2．f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，那么f(lglg3)的值是（ ） (A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值 3．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，当A¹B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，那么这样的(A，B)对的个数是（ ） （A）8 （B）9 （C）26 （D）27 4．假设直线x=被曲线C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( ) (A) (B) (C) (D)p 5．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，假设c-a等于AC边上的高h，那么sin+cos的值是( ) (A)1 (B) (C) (D)-1 6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎC，那么方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( ) 二、填空题（每题5分，共30分） 1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________． 2．实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，那么+=_______． 3．假设zÎC，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，那么z的值是________. 4．整数的末两位数是_______. 5．设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，那么k的最大值是_______. 6．三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片那么不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． 三、（此题总分值20分） 三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D¢，那么D¢为三棱锥S－ABC的外接球球心． 四、（此题总分值20分） 设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹． 五、（此题总分值20分） 设正数列a0，a1，a2，…，an，…满足 －=2an－1，(n≥2) 且a0=a1=1，求{an}的通项公式． 第二试 一、（35分） 设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有ÐD是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4． 二、（35分） 设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1,A2,L,Am两两互不包含． 试证：(1) ≤1； (2) C≥m2．其中|Ai|表示Ai所含元素的个数，C表示n个不同元素取|Ai|个的组合数． 三、（35分） 水平直线m通过圆O的中心，直线l^m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆 O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB´CR+BC´AP=AC´BQ；(2)l与圆O相交时，AB´CR+BC´AP＜AC´BQ；(3)l与圆O相离时，AB´CR+BC´AP＞AC´BQ. 1993年全国高中数学联合竞赛解答 第一试 一、选择题(每题5分，共30分) 1．假设M={(x，y)| |tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，那么M∩N的元素个数是（ ） (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 解：tanpy=0，y=k(k∈Z)，sin2px=0，x=m(m∈Z)，即圆x2+y2=2及圆内的整点数．共9个．选D． 2．f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，那么f(lglg3)的值是（ ） (A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值 解：设lglog310=m，那么lglg3=－lglog310=－m，那么f(m)=asinm+b+4=5，即asinm+b=1． ∴ f(－m)=－(asinm+b)+4=－1+4=3．选C． 3．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，当A¹B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，那么这样的(A，B)对的个数是（ ） （A）8 （B）9 （C）26 （D）27 解：a1∈A或ÏA，有2种可能，同样a1∈B或ÏB，有2种可能，但a1ÏA与a1ÏB不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a2、a3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D． 4．假设直线x=被曲线C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( ) (A) (B) (C) (D)p 解：曲线C表示以(arcsina，arcsina)，(arccosa，－arccosa)为直径端点的圆．即以(α，α)及(－α，－+α)(α∈[－，])为直径端点的圆．而x=与圆交于圆的直径．故d=≥． 应选C． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，假设c-a等于AC边上的高h，那么sin+cos的值是( ) (A)1 (B) (C) (D)-1 解：2R(sinC－sinA)=csinA=2RsinCsinA，ÞsinC－sinA=sinCsinA， Þ2cossin=－[cos(C+A)－cos(C－A)]= [1－2sin2－2cos2+1]． Þ(sin+cos)2=1，但sin+cos>0，应选A． 6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎC，那么方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( ) 解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni，mi)，由①n>0，故否认A， 由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否认C． 由B与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是m<0，|OF2|=－m．曲线上一点到－ni距离大，否认D，应选B． 二、填空题（每题5分，共30分） 1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________． 解：即此方程没有实根的条件．当λ∈R时，此方程有两个复数根，假设其有实根，那么 x2+λx+1=0，且x2－x－λ=0．相减得(λ+1)(x+1)=0． 当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内． 当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2． 2．实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，那么+=_______． 解：令x=rcosθ，y=rsinθ，那么S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=． ∴+=+=． 3．假设zÎC，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，那么z的值是________. 解：如图，可知z2表示复数4(cos120°+isin120°)． ∴ z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+i)． 4．整数的末两位数是_______. 解：令x=1031，那么得==x2－3x+9－．由于0<<1，故所求末两位数字为09－1=08． 5．设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，那么k的最大值是_______. 解：显然>1，从而log1993>0．即++≥． 就是[(lgx0－lgx1)+(lgx1－lgx2)+(lgx2－lgx3)]( ++)≥k． 其中lgx0－lgx1>0，lgx1－lgx2>0，lgx2－lgx3>0，由Cauchy不等式，知k≤9．即k的最大值为9． 6．三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片那么不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． 解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择． 但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个． 三、（此题总分值20分） 三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为，那么为三棱锥S—ABC的外接球球心． ⑴ 证明：∵ DP∥SC，故DP、CS共面． ∴ DCÍ面DPC， ∵ M∈DC，ÞM∈面DPC，SMÍ面DPC． ∵ 在面DPC内SM与SC相交，故直线SM与DP相交． ⑵ ∵ SA、SB、SC两两互相垂直，∴ SC⊥面SAB，SC⊥SD． ∵ DP∥SC，∴ DP⊥SD．△DD¢M∽△CSM， ∵ M为△ABC的重心，∴ DM∶MC=1∶2．∴ DD¢∶SC=1∶2． 取SC中点Q，连D¢Q．那么SQ=DD¢，Þ平面四边形DD¢QS是矩形． ∴ D¢Q⊥SC，由三线合一定理，知D¢C=PS． 同理，D¢A= D¢B= D¢B= D¢S．即以D¢为球心D¢S为半径作球D¢．那么A、B、C均在此球上．即D¢为三棱锥S—ABC的外接球球心． 四、（此题总分值20分） 设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹． 解：设l：y=k1(x－a)，m：y=k2(x－b)．于是l、m可写为(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)=0． ∴ 交点满足 假设四个交点共圆，那么此圆可写为(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)+l(y2－